При обобщенном математическом описании за основу была принята теория Уайта и Уотсона, которые обобщили теории электромеханического преобразования энергии различных видов электрических машин. Полученная при таком описании модель машины и является обобщенной электрической машиной.
Любую многофазную электрическую машину при условии равенства полных сопротивлений статора (ротора) для изучения динамических процессов можно заменить эквивалентной двухфазной машиной. При такой замене возможно обобщенное математическое описание процессов преобразования энергии во вращающейся машине на основе рассмотрения идеализированного 2-х фазного ЭМП, который иначе называется обобщенной электрической машиной.
Nbsp; Основным элементом электромеханической системы является электродвигатель. Его можно представить состоящим из механической части (ротора или якоря, обладающих инерцией) являющейся механическим звеном, и электрической, в которой происходит электромеханическое преобразование энергии. Эту часть сокращенно называют ЭМП – электромеханический преобразователь энергии. ЭМП можно рассматривать как идеализированный двигатель, ротор (якорь) которого не обладает механической энерцией и не имеет механических потерь. К такому ротору приложен развиваемый ЭМП при скорости w электромагнитный момент М двигателя.
Математическое описание процессов электромеханического преобразования энергии.
Математическое описание обобщенной электрической машины.
При замене реальной машины обобщенной сделаны следующие допущения:
1. Магнитная цепь машины не насыщена и имеет высокую магнитную проницаемость m.
2. Неравномерность зазора, обусловленная пазами, не учитывается, воздушный зазор считается равномерным, а ротор гладким. Сосредоточенные в пазах реальной машины проводники обмоток с током в обобщенной машине заменяются синусоидальными токовыми слоями, эквивалентными по МДС первым гармоникам МДС соответствующих реальных обмоток.
3. Не учитываются потери в стали на гистерезис и вихревые токи.
4. Зазор явнополюсной машины принимается равномерным, а не явнополюсность учитывается разной проводимостью по продольной и поперечной осям путем введения понятная переменой радиальной магнитной проницаемости:
, где
- электрический угол поворота ротора относительно статора.
5. Параметры ротора считаются приведенными к статору.
6. Сопротивления обмоток фаз статора и ротора считаются одинаковыми.
Схему обобщенной двухполюсной машины можно представить так, как изображено на рис. На 2-х взаимно перпендикулярных осях a и b, жестко скрепленных со статором, расположены две обмотки статора. На 2-х взаимно перпендикулярных осях d и q, жестко скрепленных с ротором, расположены две обмотки ротора. Они вращаются в пространстве вместе с ротором с угловой скоростью wЭЛ. Процессы проходящие в машине, описываются уравнениями равновесия ЭДС в цепях статора и ротора и уравнением электромагнитного момента.
Согласно закону Кирхгофа уравнения электрического равновесия имеют вид:
;
;
;
.
В обобщенном виде эти уравнения можно записать так:
.
Уравнения потокосцеплений с обмотками:
;
;
;
.
1-й индекс у индуктивностей и взаимных индуктивностей обмоток указывают, в какой обмотке наводятся ЭДС, а 2-й – током какой обмотки она создается. Например, L1a,1a - собственная индуктивность фазы a статора; L1b, 2d – взаимная индуктивность между фазой b статора и фазой d ротора.
В обобщенной форме эти уравнения имеют вид:
При работе реальной машины взаимное положение обмоток статора и ротора непрерывно меняется, следовательно, их собственные и взаимные индуктивности являются функцией электрического угла поворота ротора.
У симметричной неявнополюсной машины собственные индуктивности статора и ротора не зависят от положения ротора, т.е.
;
.
Взаимные индуктивности между обмотками статора равны 0, т.к. магнитные оси этих обмоток сдвинуты в пространстве относительно друг друга на угол jэл.=90°, т.е.;
Взаимные индуктивности обмоток статора и ротора проходят полный цикл изменений при повороте ротора на jэл.=2p. Поэтому с учетом принятых на рисунке, направлений токов и знака угла поворота ротора можно написать:
;
;
;
.
Здесь L12 – максимальная взаимоиндуктивность когда оси соответствующих обмоток совпадают.
Для явнополюсной машины в соответствие с выражением собственные и взаимные индуктивности обмоток можно представить в виде суммы 2-х составляющих, одна из которых пропорциональна m, а другая - Dm. Первые не отличаются от рассмотренных для неявнополюсной машины. Вторые совершают полный цикл изменения при повороте ротора на одно полюсное деление.
Т.к. ротор считается гладким, то собственные индуктивности явно полюсного статора не зависят от положения ротора, а собственные индуктивности ротора изменяются в соответствии с изменением Dm. Взаимные индуктивности между обмотками ротора при явно полюсном статоре ¹0 и также определяются изменением Dm, т.к. явнополюсный статор при вращении ротора изменяет картину магнитного поля в воздушном зазоре. Соответствующие изложенным положениям выражения для индуктивностей и взаимных индуктивностей здесь не приводится ввиду их громоздкости.
С учетом представления потокосцеплений в обобщенной форме, уравнение электрического равновесия можно записать в виде:
Электромагнитный момент обобщенной машины можно найти как частную производную от запаса электромагнитной энергии А по геометрическому углу. .Т.к. , то
Подставив сюда выражения собственных и взаимных индуктивностей неявнополюсной машины, уравнение электромагнитного момента можно получить в виде: .
В электрическом двигателе осуществляется связь механического движения привода и механизма с электрическими процессами в системе управления приводом и наоборот, которая объединяет механическую и электрическую часть электропривода в единую электромеханическую систему. Различные проявления этой связи называют электромеханической связью.
Представим уравнения электрического равновесия в следующем виде (после подстановки L и дифференцирования):
.
Здесь ; второй член уравнения – результирующая ЭДС самоиндукции и взаимной индукции вызванная изменением токов в обмотках в результате вращения ротора.
ЭДС вращения зависит от скорости движения ротора. Изменение этой скорости, вызванное процессами механической части эл.привода, вызывает изменение токов в обмотках. Это явление и представляет собой электромеханическую связь, вследствие которой при питании двигателя от источника напряжения существует зависимость токов силовой цепи электропривода от его скорости. Т.к. токи ii благодаря этой связи зависят от скорости ротора двигателя, то и его электромагнитный момент М также зависит от скорости. Связь эта характеризуется зависимостями:
или
или
Первые зависимости являются электромеханическими, а вторые – механическими характеристиками двигателя.
Уравнения электрического равновесия, записанные выше для Ui, выражают связь между функциями и в динамических процессах электромеханического преобразования энергии и представляет собой обобщенное математическое описание эл.механических характеристик двигателя во всех режимах работы. Поэтому они являются уравнениями электромеханической характеристики двигателя.
Если эти уравнения дополнить уравнением электромагнитного момента двигателя, то полученная система уравнений является обобщенным математическим описанием механических характеристик двигателя во всех режимах работы. Поэтому они являются уравнениями механической характеристики.
В зависимости от режима работы электромеханические и механические характеристики разделяются на статические и динамические. Статические характеристики соответствуют статическим (установившимся) режимам работы, а динамические – динамическим. Уравнения статических характеристик получаются из общих уравнений динамики (для Ui и М) путем подстановки в них условий, соответствующих статическим режимам.
Графически динамическая механическая характеристика представляет собой геометрическое место точек на плоскости (w, М), каждая из которых соответствует определенному моменту времени. Статическая механическая характеристика представляет собой геометрическое место точек на плоскости (w, М), соответствующих установившемуся режиму работы. В качестве примера на рис. изображены статическая и динамическая механические характеристики асинхронного двигателя (для режима пуска) в холостую.
При изменении нагрузки на валу двигателя скорость его изменяется. Величиной, характеризующей степень ее изменения, является жесткость механической характеристики.
Статическая жесткость характеристики определяется как отношение приращения момента к приращению скорости, т.е. . Понятием жесткости оценивается форма механической характеристики. Это понятие применимо и для оценки формы механической характеристики производственных механизмов. Графически жесткость определяется ctg угла наклона между касательной к характеристике и осью моментов, т.е. или
g отсчитывается по часовой стрелке. Здесь mw и mм – масштабы скорости и момента. Статические характеристики могут иметь положительную и отрицательную жесткость. Если при увеличении нагрузки скорость уменьшается – жесткость характеристики отрицательна и наоборот.
Статические электромеханические и механические характеристики не позволяют судить о электромеханических свойствах двигателя и электропривода в динамических режимах, т.к. жесткая и даже абсолютно жесткая статическая характеристика в в установившемся динамическом режиме работы электропривода превращается в мягкую или имеющую переменную жесткость. Поэтому для суждения о жесткости механической характеристик двигателя или электропривода в динамических режимах используется понятие динамической жесткости. Модуль динамической жесткости определяется как отношение амплитуд установившихся гармонических колебаний момента и угловой скорости относительно средних значений. при Dwg ®0.
В операторной форме:
Это выражение свидетельствует о том, что bg представляет собой передаточную функцию ЭМП, если входным параметром принять скорость двигателя w(r), а выходным – электромагнитный момент М(r).
Рассмотрим теперь возможные режимы работы ЭМП и ограничения, накладываемые на протекание этих режимов.
Основным режимом работы ЭМП и двигателя является двигательный при котором мощность Рс, потребляемая из сети, в основном преобразуется в механическую Рмех, а остальная часть DР теряется в виде тепла в обмотках и стали машины.
К тормозным режимам относятся режимы:
а) рекуперативного торможения;
б) противовключение;
в) динамического торможения.
Все тормозные режимы являются генераторными.
В режиме рекуперативного торможения Рмех, поступающая с вала механизма, преобразуется в электрическую и отдается в сеть за исключением потерь DР в стали и обмотках.
В режиме противовключения электромагнитный момент двигателя действует против направления вращения ротора (якоря) двигателя. При Этом двигатель потребляет мощность Рс из сети и с вала механизма Рмех и вся она теряется в виде тепла в сопротивлениях двигателя и стали.
В режиме динамического торможения двигатель отключен от сети и работает автономным генератором. Вся механическая мощность Рмех, поступающая с вала механизма, преобразуется в электрическую и рассеивается в виде тепла в обмотках и стали машины.
Процессы электромеханического преобразования энергии сопровождаются потерями энергии, вызывающими нагрев машины, повышение температуры нагрева. Максимально допустимая t° нагрева двигателя ограничивается теплостойкостью изоляции его обмоток, т.к. превышение допустимой t° резко сокращает срок службы изоляции. Поэтому одно из ограничений, накладываемых на процесс электромеханического преобразования энергии – ограничение по нагреву. Нагрузка двигателя по току, мощности, моменту не должна превышать значений, при которых рабочая t° двигателя может превышать допустимую t°. Допустимая по нагреву нагрузка двигателя называется номинальной и указывается в паспортных и каталожных данных. К числу номинальных данных относятся: PH, IH, UH, fH, wH, hH, cosjH.
Ограничения по нагреву не исключают возможности кратковременной перегрузки двигателя, т.е. превышения номинальной нагрузки, т.к. за время кратковременной перегрузки t° двигателя заметно измениться не может.
Различают перегрузочную способность двигателя по току lI и по моменту lМ:
: , где
Мдоп, Iдоп, Мн, Iн – максимально допустимые и, соответственно, номинальные момент и ток.
Перегрузочная способность двигателей постоянного тока ограничивается условиями коммутации с т.з. допустимой степени искрения и скорости изменения тока якоря . Перегрузочная способность двигателей переменного тока ограничивается наибольшим моментом, который машина способна развить при номинальном напряжении, номинальной частоте и номинальном возбуждении (для синхронных машин).
Перегрузочная способность двигателей постоянного тока общего назначения по моменту не должна быть меньше 2,5. Для крановых и металлургических двигателей постоянного тока в зависимости от способа возбуждения и мощности lМ находится в пределах 2,5¸5,5.
Перегрузочная способность двигателей постоянного тока по току составляет 1,5¸3,6, а для двигателей с гладким якорем 6¸8.
Перегрузочная способность асинхронных двигателей при UH и fH ограничивается величиной критического момента. Для к.з. двигателей общепромышленного применения lМ=1,7¸2,2, для двигателей с фазным ротором lМ=1,7¸4, а для крановых и металлургических двигателей более 2,3 и дается в справочниках и каталогах. Учитывая возможное понижения напряжения сети до 0,9UН, при расчетах следует брать lМ=0,8lМ.
Мгновенная перегрузочная способность синхронных двигателей по моменту обычно равна lМ=2,5¸3, а за счет форсировки возбуждения может быть доведена до lМ=3,5¸4.
Не учитываются потери в стали на гистерезис и вихревые токи.
, где
- электрический угол поворота ротора относительно статора.
;
;
;
.
.
;
;
;
.
;
.
;
;
;
.
собственные и взаимные индуктивности обмоток можно представить в виде суммы 2-х составляющих, одна из которых пропорциональна m, а другая - Dm. Первые не отличаются от рассмотренных для неявнополюсной машины. Вторые совершают полный цикл изменения при повороте ротора на одно полюсное деление.
, то
.
.
; второй член уравнения – результирующая ЭДС самоиндукции и взаимной индукции вызванная изменением токов в обмотках в результате вращения ротора.
или 
или 
и 
в динамических процессах электромеханического преобразования энергии и представляет собой обобщенное математическое описание эл.механических характеристик двигателя во всех режимах работы. Поэтому они являются уравнениями электромеханической характеристики двигателя.
Графически динамическая механическая характеристика представляет собой геометрическое место точек на плоскости (w, М), каждая из которых соответствует определенному моменту времени. Статическая механическая характеристика представляет собой геометрическое место точек на плоскости (w, М), соответствующих установившемуся режиму работы. В качестве примера на рис. изображены статическая и динамическая механические характеристики асинхронного двигателя (для режима пуска) в холостую.
Статическая жесткость характеристики определяется как отношение приращения момента к приращению скорости, т.е. 
. Понятием жесткости оценивается форма механической характеристики. Это понятие применимо и для оценки формы механической характеристики производственных механизмов. Графически жесткость определяется ctg угла наклона между касательной к характеристике и осью моментов, т.е. 
или 
при Dwg ®0.
Основным режимом работы ЭМП и двигателя является двигательный при котором мощность Рс, потребляемая из сети, в основном преобразуется в механическую Рмех, а остальная часть DР теряется в виде тепла в обмотках и стали машины.
В режиме противовключения электромагнитный момент двигателя действует против направления вращения ротора (якоря) двигателя. При Этом двигатель потребляет мощность Рс из сети и с вала механизма Рмех и вся она теряется в виде тепла в сопротивлениях двигателя и стали.
В режиме динамического торможения двигатель отключен от сети и работает автономным генератором. Вся механическая мощность Рмех, поступающая с вала механизма, преобразуется в электрическую и рассеивается в виде тепла в обмотках и стали машины.
: 
, где
. Перегрузочная способность двигателей переменного тока ограничивается наибольшим моментом, который машина способна развить при номинальном напряжении, номинальной частоте и номинальном возбуждении (для синхронных машин).