Системы счисления

Глава 2. ИНФОРМАЦИОННО-ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ

Системой счисления называется способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов, имеющих определенные количественные значения. Систему счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах каждая цифра числа имеет определенный вес, зависящий от позиции цифры в последовательности, изображающей число. Позиция цифры называется разрядом. В позиционной системе счисления любое число можно представить в виде:

A_n=a_m-1a_m-2…a_ia₀*a_-1a_-2…a_-k=a_m-1*N^m-1+a_m-2*N^m-2…+a_-k*N^-k

, (2.1)

где a_i – i-я цифра числа; k – количество цифр в дробной части числа; m - количество цифр в целой части числа; N – основание системы счисления.

Основание системы счисления N показывает, во сколько раз “вес” г-го разряда больше (i-1) разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).

Пример 2.1.А₁₀=37.25.

В соответствии с формулой (2.1)это число формируется из цифр с весами рядов:

А₁₀=3*10¹+7*10⁰+2*10^-1+5*10^-2.

Теоретически наиболее экономичной системой счисления является система с основанием е=2,71828..., находящимся между числами 2 и 3.

Во всех современных ЭВМ для представления числовой информации используется двоичная система счисления. Это обусловлено:

более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;

более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют всего два состояния (0 и 1);

экономичностью аппаратурной реализации всех схем ЭВМ.

При N=2 число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (нуль и единица). Кроме двоичной системы счисления широкое распространение получили и производные системы:

· двоичная- {0,1};

· десятичная, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел, - {0, 1,...,9};

· шестнадцатеричная - {0,1,2, ...9, А, В, С, D, Е, F}. Здесь шестнадцатеричная цифра А обозначает число 10,В-число 11, ...,F-число 15;

· восьмеричная (от слова восьмерик) - {0,1,2,3,4,5, б, 7}. Она широко используется во многих специализированных ЭВМ.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 2⁴ и 8 = 2³. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.