Интерполяционный многочлен Лагранжа

Постановка задачи

Интерполирование функций

Пусть известны значения функции f в некоторых точках:

Требуется получить y=f(x) для xÏ[x₀,x_n], где x¹x_i. При этом аналитическое выражение

· не пригодно ля вычислений либо

· неизвестно.

В этом случае строим приближающую функцию F(x) » f(x), такую что F(x) = f(x) при x=x_i (i=0,1,…,n), т.е. F(x₀)=y₀, F(x₁)=y₁, …, F(x_n)=y_n (2)

Нахождение приближенной функции называется интерполяцией (интерполированием), точки x₀, x₁, …, x_n узлами интерполяции.

Будим искать функцию F(x) в виде многочлена степени n:

P_n(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + … + a_n-1 x + a_n

Этот многочлен имеет n+1 коэффициент. Наложим на него n+1 условий (2). Таким образом можно однозначно определить коэффициенты многочлена.

Рассмотрим получившуюся систему уравнений: .

Ее определитель (определитель Вандермонда) отличен от нуля:

Значит, интерполяционный многочлен P_n(x) для функции f, заданной таблично, существует и единственный. При этом какие-то коэффициенты могут равняться нулю (в том числе и a₀); следовательно, интерполяционный многочлен имеет степень не большую, чем n.

Пусть функция задана таблицей (1). Построим интерполяционный многочлен L_n(x), чья степень не превосходит n, и для которого выполнены условия (2).

L_n(x) ищем в виде L_n(x)= l₀(x)+ l₁(x)+ l₂(x)+…+ l_n(x),

где l_i(x) – многочлен степени n, причем

Многочлен l_i(x) составлен следующим образом:

l_i(x)=c_i (x-x₀) (x-x₁)… (x-x_i-1) (x-x_i+1)… (x-x_n), где c_i=const.

Таким образом, получим интерполяционный многочлен Лагранжа:

.

Погрешность вычисляется по формуле:

, где

.

Составим интерполяционный многочлен Лагранжа для трех точек:

Программа вычисления значения интерполяционного многочлена Лагранжа:

program lagrang;

const k=30;

type vektor=array[1..k] of real;

var x,y: vektor;

n,i,j: byte;

l,f,a,m: real;

begin write('Вв. кол-во узлов интерполирования - ');

readln(n);

writeln('Введите парами значения Х и Y');

for i:=1 to n do readln(X[i],y[i]);

repeat

write('Введите заданное значение аргумента - ');

readln(A);

F:=0;

for i:=1 to n do

begin L:=1;

for j:=1 to n do

if i<>j then L:=L*(A-X[j])/(X[i]-X[j]);

L:=L*Y[i];

F:=F+L;

end;

writeln('При Х=',A:5:3,' F(',A:5:3,') = ',F:10:6);

writeln('Закончить – 0. Продолжить – 1.'); readln(m)

until M=0

end.

Блок-схема составления интерполяционного многочлена Лагранжа:

		начало