Постановка задачи

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Ее можно записать в матричном виде A x = B, где

Решить СЛУ – значит найти набор таких чисел , которые превращают уравнения в верные равенства.

СЛУ совместна, если она имеет хотя бы одно решение.

СЛУ несовместна (противоречива), если она не имеет решения.

Совместная СЛУ определенна, если она имеет единственное решение и неопределенна, если более одного решения.

СЛУ имеет единственное решение, если ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A|b): rang(A) = rang(A|b).

СЛУ имеет единственное решение, если rang(A) = n и бесконечно много решений, если rang(A) < n.

Если матрица A – квадратная и det(A)¹0, то она называется невырожденной.

СЛУ с n неизвестными, имеющими невырожденную матрицу A, совместна и имеет единственное решение.

Единичной матрицей E называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах – нули.

Обратной матрицей по отношению к матрице A называется такая матрица A^-1, что A A^-1=A^{-1 A} = E.

Матрица A^T, полученная перестановкой в матрице A строк со столбцами, называется транспонированной.

Квадратная матрица симметрична, если A=A^T.

Все численные методы решения СЛУ можно разделить на прямые, итерационные и вероятностные.

Прямые методы дают решение системы за конечное число арифметических операций.

Например, метод Крамера (метод определителей),

метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Итерационные методы дают решение системы как предел последовательности приближений, вычисляемых по единообразной схеме.

Например, метод простой итерации,

метод Зейделя.

Вероятностные методы носят общее название – методы Монте-Карло.

Пусть получено решение СЛУ: . Рассматривается вектор невязки . Если велико, то где-то допущена ошибка, если мало, то ошибка отсутствует.