Общие индексы

Если изучаемое явление неоднородно и сравнение уровней можно провести только после приведения их к общей мере, экономический анализ выполняют посредством общих индексов. Индекс становится общим, когда в его расчетной формуле показывается неоднородность изучаемой совокупности. Примером неоднородной совокупности является общая масса проданных товаров всех или нескольких видов. Действительно нельзя, например, складывать непосредственно килограммы мяса и рыбы, так как полученный результат в прямом смысле не являлся бы «ни рыбой, ни мясом».

Любые общие индексы могут быть построены 2-мя способами: как агрегатные и как средние из индивидуальных.

Агрегатный индекс является основной и наиболее распространенной формой индекса, если числитель и знаменатель представляют собой набор – «агрегат» (от лат. aggregatus – складываемый, суммируемый) непосредственно несоизмеримых и не поддающихся суммированию элементов – сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируется), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса). Вес индекса служит для целей соизмерения индексируемых величин.

Например, общую сумму выручки можно записать в виде агрегата (суммы произведений объемного показателя q на взвешивающий – p), т.е.

∑Q = ∑qp. (183)

Отношение агрегатов, построенных для разных условий, дает общий индекс показателя в агрегатной форме. Так получают индекс общего объема товарооборота (выручки), показывающий во сколько раз он изменился (или сколько процентов составляет) в отчетном периоде по сравнению с базисным:

I_Q=.(184)

Разность между числителем и знаментелем формулы (184) представляет собой абсолютное изменение общего товарооборота (выручки) (185), показывающее на сколько в денежных единицах (например, рублях) он изменился в отчетном периоде по сравнению с базисным:

∆∑Q = ∑Q₁ – ∑Q₀ = ∑q₁p₁ – ∑q₀p₀. (185)

Например, дедушка торговал яблоками двух сортов: «антоновкой» и «белым наливом», результаты торговли за 2 дня представлены в таблице 51:

Таблица 51. Условные данные о торговле яблоками дедушкой за 2 дня

Рассчитаем выручку дедушки по формуле (183):

– в отчетном периоде: ∑Q₁= 18*160+25*120 = 5880 (руб.) – это выручка от продажи яблок сегодня;

– в базисном периоде: ∑Q₀= 20*100+22*150 = 5300 (руб.) – это выручка от продажи яблок вчера.

Теперь определим изменение общей выручки дедушки:

– по формуле (184): I_Q=5880/5300 = 1,1094, то есть выручка увеличилась в 1,1094 раза, или на 10,94%.

– по формуле (185): ∆∑Q =5880 – 5300 = 580, то есть выручка увеличилась на 580 руб.

При анализе изменения общего объема товарооборота (выручки) это изменение также объясняется изменением уровня цен и количества проданных товаров. Влияние этих факторов выражается агрегатными индексами физического объема (количества) и цен.

Если уровни взвешивающего показателя взяты по данным базисного периода, то получают агрегатный индекс Ласпейреса:

; (186) . (187)

Формула (186) применяется, когда количество – это 1-ый фактор, а формула (187) – когда цена является 1-ым фактором.

Если уровни взвешивающего показателя взяты по данным отчетного периода, то получают агрегатный индекс Пааше:

; (188) . (189)

Формула (188) применяется, когда количество – это 2-ой фактор, а формула (189) – когда цена является 2-ым фактором.

Произведение агрегатных индексов Ласпейреса и Пааше дает общий индекс выручки:

I_Q =;(190) I_Q = . (191)

Для облегчения запоминания студентами формул Ласпейреса и Пааше предлагаю обратить внимание на букву «Ш» в слове «Пааше», которая напоминает «111» - так обозначены отчетные периоды в общей формуле (две единицы – в числителе и одна – в знаменателе). В формуле Ласпейреса нет буквы «Ш», значит в ней не будет трех единиц, а будут три нуля (два нуля – в знаменателе и один – в числителе).

В нашем примере про дедушку (как и в примере про бабушку) цена яблок – это 1-ый фактор, а количество – 2-ой. Поэтому для определения агрегатного индекса цен применяем формулу (187):

= 1,0472, то есть цена на яблоки увеличилась в 1,0472 раза (на 4,72%).

Определим агрегатный индекс количества проданных яблок по формуле (188):

= 1,0594, то есть количество проданных яблок выросло в 1,0594 раза (на 5,94%).

Контроль правильности расчетов производим по формуле (191): I_Q= 1,0472*1,0594 = 1,1094, то есть изменение общей выручки дедушки в 1,1094 раза (на 10,94%) объясняется изменением цены в 1,0472 раза (на 4,72%) и изменением количества продаж в 1,0594 раза (на 5,94%).

Из формул (186) – (189) видно, что индексы Ласпейреса и Пааше по одному и тому же фактору не равны между собой, то есть ≠и ≠. Амери­канский экономист Гершенкрон обширными расчетами установил, что по одному и тому же фактору индекс Ласпейреса обычно больше индекса Пааше, и это открытие названо эффектом Гершенкрона[56], то есть >и >.

Когда нет возможности определить очередность влияния факторов на результативный показатель (какой из факторов 1-ый – цена или количество) проблематично выбрать одну из формул (186) или (187) и (188) или (189). В таких случаях рекомендуется применить все формулы (186) – (189) и рассчитать среднюю геометрическую величину из однофакторных индексов – индексы Фишера:

; (192) . (193)

Сравнивая значения индексов Фишера, которые показывают среднее изменение цен (193) и количества (192), решается вопрос об очередности влияния факторов: какой из индексов показывает большее изменение, тот фактор и считают 1-ым.

Из формул (190) и (191) легко получить двухфакторные мультипликативные индексные модели общей выручки, подставив в них формулу (184) и выразив ∑Q₁:

∑Q₁= Q₀, (194)∑Q₁= Q₀. (195)

Формула (194) применяется, когда количество товара – 1-ый фактор, а цена 2-ой, а формула (195) – наоборот, цена – 1-ый фактор, а количество – 2-ой. Тогда, применяя метод Чалиева, можно выполнить факторный анализ, то есть объяснить изменение результативного показателя (общей выручки) изменением каждого фактора (цен и количества) в отдельности в абсолютных (денежных) единицах. Более детальный анализ изменения итогового показателя возможен при изучении так называемых структурных сдвигов.

В нашем примере про дедушку мы применяли формулу (187), значит должны производить факторный анализ по модели (195). Тогда, применяя метод Чалиева, изменение общей выручки ∆∑Q = ∑Q₁ – ∑Q₀ объясняется изменением:

1) количества проданных проданных яблок ∆∑Q_q = (–1) ∑Q₀ =(1,0594–1)*5300 ≈ 315 (руб.)

2) цены яблок ∆∑Q_p = (–1) ∑Q₀ =1,0594*(1,0472–1)*5300 ≈ 265 (руб.)

Проверка правильности расчета влияния факторов: ∆∑Q = 265 + 315 = 580, что совпадает с общим изменением общей выручки, рассчитанным ранее по формуле(185).

Помимо записи общих индексов в агрегатной форме на практике часто используют формулы их расчета как величин, средних из соответствующих индивидуальных индексов. Так, общий индекс выручки может быть записан как средняя арифметическая взвешенная (196) или средняя гармоническая взвешенная (197) из индивидуальных индексов выручки по отдельным товарным группам:

(196) (197)

В формуле (196) весами являются показатели объема товарооборота отдельных товарных групп в отчетном периоде, в формуле (197) – в базисном.

Аналогично через индивидуальных индексы количества товара и цены могут быть выражены общие агрегатные индексы Ласпейреса и Пааше:

; (198) ; (199)

; (200) . (201)