Проверка соответствия ряда распределения закону Пуассона

Таможенная инспекция провела проверку после выпуска товаров. В результате получен следующий дискретный ряд распределения числа нарушений, выявленных в каждой проверке (табл. 16).

Таблица 16. Ряд распределения числа нарушений, выявленных таможенной инспекцией

Проведем анализ этого ряда распределения. Сначала рассчитаем среднее число нарушений в выборке, а также его дисперсию, для чего построим вспомогательную таблицу 17.

Таблица 17. Ряд распределения числа нарушений, выявленных таможенной инспекцией

Число нарушений X	Число проверок f	Xf	(Х-)2 f	m		f’	m’	|f’– m’|
			3,022	21,7	0,244		21,7	2,3
			1,665	7,7	1,778		29,4	1,4
			5,413	1,4	0,257		30,8	0,8
			6,997	0,2	3,200
Итого			17,097		5,479

Среднее число нарушений в выборке по формуле (11): = 11/31 = 0,355 (нарушений).

Дисперсию определим по формуле (28): = = 0,552 (нарушений²).

Построив график этого распределения (полигон) – рис. 11, видно, что данное распределение не похоже на нормальное.

Рис. 11. Кривая распределения числа нарушений, выявленных таможенной инспекцией

Из структурных характеристик ряда распределения можно определить только моду: Мо = 0, так как по данным табл. 17 такое число нарушений чаще всего встречается (f=24).

По формуле (24) определим размах вариации: H = 3 – 0 = 3, что характеризует вариацию в 3 нарушения.

По формуле (26) найдем среднее линейное отклонение:

.

Это означает, что в среднем число нарушений отклоняется от среднего их числа на 0,55.

Среднее квадратическое отклонение рассчитаем не по формуле (28), а как корень из дисперсии, которая уже была рассчитана нами выше: , тогда , т.е. в изучаемом распределении наблюдается некоторое число выделяющихся нарушений (с большим числом нарушений, выявленных в одной проверке).

Поскольку квартили на предыдущем этапе не определялись, на данном этапе расчет среднего квартильного расстояния пропускаем.

Теперь рассчитаем относительные показатели вариации:

– относительный размах вариации по формуле (32): = 3/0,355 = 8,45;

– линейный коэффициент вариации по формуле (33): = 0,550/0,355 = 1,55;

– квадратический коэффициент вариации по формуле(34): = 0,743/0,355 = 2,09.

Все расчеты на данном этапе свидетельствуют о значительных размере и интенсивности вариации нарушений, выявленных таможенной инспекцией.

Не имеет практического смысла расчет моментов распределения, так как видно из рис. 11, что в изучаемом распределении симметрия отсутствует вовсе, поэтому и расчет эксцесса также бесполезен.

Выдвинем гипотезу о соответствии изучаемого распределения распределению Пуассона[26], которое описывается формулой (48):

, (48)

где P(X) – вероятность того, что признак примет то или иное значение X;

e = 2,7182 – основание натурального логарифма;

X! – факториал числа X (т.е. произведение всех целых чисел от 1 до X включительно);

a =– средняя арифметическая ряда распределения.

Из формулы (48) видно, что единственным параметром распределения Пуассона является средняя арифметическая величина. Порядок определения теоретических частот этого распределения следующий:

1) рассчитать среднюю арифметическую ряда, т.е. = a;

2) рассчитать e^–a;

3) для каждого значения X рассчитать теоретическую частоту по формуле (49):

. (49)

Поскольку a == 0,355 найдем значение e ^{– 0,355} =0,7012. Затем, подставив в формулу (49) значения X от 0 до 3, вычислим теоретические частоты:

m₀ = (т.к. 0! = 1); m₁ = ;

m₂ = ; m₃ = .

Полученные теоретические частоты занесем в 5-й столбец табл. 17 и построим график эмпирического и теоретического распределений (рис. 12), из которого видна близость эмпирического и теоретического распределений.

Рис. 12. Эмпирическая и теоретическая (распределение Пуассона) кривые распределения

Проверим выдвинутую гипотезу о соответствии изучаемого распределения закону Пуассона с помощью критериев согласия.

Рассчитаем значение критерия Пирсона χ² по формуле (44) в 6-м столбце табл. 17: χ² =5,479, что меньше табличного (Приложение 3) значения χ²_табл=5,9915 при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы ν=4–1–1=2, значит с вероятностью 0,95 можно говорить, что в основе эмпирического распределения лежит закон распределения Пуассона, т.е. выдвинутая гипотеза не отвергается, а расхождения объясняются случайными факторами.

Определим значение критерия Романовского по формуле (46):

= 1,74 < 3, что подтверждает несущественность расхождений между эмпирическими и теоретическими частотами.

Для расчета критерия Колмогорова в последних трех столбцах таблицы 17 приведены расчеты накопленных частот и разностей между ними, откуда видно, что в 1-ой группе наблюдается максимальное расхождение (разность) D = 2,3. Тогда по формуле (47): . По таблице Приложения 6 находим значение вероятности при λ = 0,4: P = 0,9972 (наиболее близкое значение к 0,413), т.е. с вероятностью, близкой к единице, можно говорить, что в основе эмпирического распределения величины нарушений, выявленных таможенной инспекцией, лежит закон распределения Пуассона, а расхождения эмпирического и теоретического распределений носят случайный характер.