Распределение автомобилей по величине суточного пробега

Распределение рабочих цеха по квалификации

Модальным является V разряд, так как он обладает наибольшей частотой ().

Место медианы в ряду: .

Медианным является IV разряд. Для определения медианы использовали накопленные частоты, которые получают последовательным суммированием частот. Накопленная частота для II разряда равна его частоте, для III разряда – это сумма частоты III разряда и накопленной частоте II разряда, то есть 22 + 10 = 32 и т.д.

При исчислении моды и медианы в интервальном ряду необходимо сначала определить интервал, в котором они находятся, среднее значение этого интервала соответствует их приближенному значению.

Пример.

Таблица 15

Модальным является интервал [130 – 160], среднее значение которого 145 км; М_о = 145 км.

Место медианы член. По накопленным частотам определяем медианный интервал [160 – 190] [М_е = 175 км].

Для определения моды в рядах с равными интервалами распределения модальный интервал определяется по наибольшей частоте, а в рядах с неравными интервалами – по наибольшей плотности распределения.

Для определения моды в рядах с равными интервалами используют формулу:

,

где – нижняя граница модального интервала;

– величина интервала;

– частоты предмодального, модального и послемодального интервала.

Моду можно определить графически по гистограмме. Для этого в самом высоком столбце гистограммы от границ 2-х смежных столбцов проводят линии, затем из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс и будет соответствовать моде.

Для расчета медианы в интервальном ряду воспользуемся следующими формулами:

,

или ,

где – нижняя граница медианного интервала;

i – величина интервала медианного;

– порядковый номер медианы;

– частота, накопленная до медианного интервала;

– частота медианного интервала.

– верхняя граница медианного интервала;

– накопленная частота медианного интервала.

Медиану можно определить графически. Для этого строится кумулята. Для определения М_е высоту наибольшей ординаты делят пополам. Через полученную точку проводятся прямую, параллельную оси абсцисс до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и является М_е.

	F
			х

Наряду с медианой для более полной характеристики совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относят квартили и децили.

Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей - девять.

Расчёт этих показателей вариационном ряду аналогичен расчёту медианы. Он начинается с нахождения порядкового номера соответствующего варианта и определения по накопленным частотам того интервала, в котором этот вариант находится. Формулы для квартилей в интервальном вариационном ряду имеют следующий вид:

нижний (или первый квартиль)

,

верхний (или третий квартиль)

,

где – нижние границы соответствующих квартильных интервалов;

– величина соответствующего интервала;

– сумма частот ряда;

– накопленные частоты интервалов, предшествующие соответствующим квартильным;

– частоты соответствующих квартильным интервалов.

Вторым квартилем является медиана.

По соотношению между средней арифметической, модой и медианой можно судить о характере распределения. В симметричных распределениях все три показателя совпадают. Чем больше расхождение между модой и средней арифметической, тем больше асимметричен ряд.

Эмпирически установлено, что для умеренно асимметричных рядов разность между модой и средней арифметической примерно в 3 раза превышает разность между медианой и средней . Это соотношение можно использовать в отдельных случаях для определения третьего показателя по двум известным.