Приведем другой алгоритм сортировки, основанный на использовании бинарных деревьев. Данный метод получил название турнира с выбыванием. Пусть мы имеем исходный массив
10, 20, 3, 1, 5, 0, 4, 8
Сортировка начинается с создания листьев дерева. В качестве листьев бинарного дерева создаются узлы, в которых записаны значения элементов исходного массива.
Дерево строится от листьев к корню. Для двух соседних узлов строится общий предок, до тех пор, пока не будет создан корень. В узел-предок заносится значение, являющееся наименьшим из значений в узлах-потомках.
Рис.4.10. Построение дерева сортировки
В результате построения такого дерева наименьший элемент попадает сразу в корень. Далее начинается извлечение элементов из дерева. Извлекается значение из корня. Данное значение является первым элементом в результирующем массиве. Извлеченное значение помещается в отсортированный массив и заменяется в дереве на специальный символ.
После этого происходит повторное занесение значений в родительские элементы от листьев к корню. При сравнениях специальный символ считается большим по отношению к любому другому значению.
После повторного заполнения из корня извлекается очередной элемент и итерация повторяется. Извлечения элементов продолжаются до тех пор, пока в дереве не останутся одни специальные символы.
Рис.4.11. Замена извлекаемого элемента на специальный символ
Рис.4.12. Повторное заполнение дерева сортировки
Рис.4.13. Извлечения элементов из дерева сортировки
В результате получим отсортированный массив
0, 1, 3, 4, 5, 8, 10, 20
Рассмотрим применение деревьев для сжатия информации. Под сжатием мы будем понимать получение более компактного кода.
Рассмотрим следующий пример. Имеется текстовая строка S, состоящая из 10 символов
S = ABCCCDDDDD
При кодировании одного символа одним байтом для строки потребуется 10 байт.
Попробуем сократить требуемую память. Рассмотрим, какие символы действительно требуется кодировать. В данной строке используются всего 4 символа. Поэтому можно использовать укороченный код.
В данном случае мы проанализировали текст на предмет использования символов. Можно заметить, что различные символы имеют различную частоту повторения. Существуют методы кодирования, позволяющие использовать этот факт для уменьшения длины кода.
Одним из таких методов является кодирование Хаффмана. Он основан на использовании кодов различной длины для различных символов. Для максимально повторяющихся символов используют коды минимальной длины.
Построение кодовой таблицы происходит с использованием бинарного дерева. В корне дерева помещаются все символы и их суммарная частота повторения. Далее выбирается наиболее часто используемый символ и помещается со своей частотой повторения в левое поддерево. В правое поддерево помещаются оставшиеся символы с их суммарной частотой. Затем описанная операция проводится для всех вершин дерева, которые содержат более одного символа.
Само дерево может быть использовано в качестве кодовой таблицы для кодирования и декодирования текста. Кодирование осуществляется следующим образом. Для очередного символа в качестве кода используется путь от листа соответствующего символа к корню дерева. Причем каждому левому поддереву приписывается ноль, а каждому правому единица.
Рис. 4.14. Построение кодовой таблицы
Тогда для строки S будет получен следующий код
S=11011110101000000
Длина кода составляет 17 бит, что меньше по сравнению с укороченным кодом.
Теперь рассмотрим процесс декодирования. Алгоритм распаковки кода можно сформулировать следующим образом.
Распаковка
1. i:=0, j:=0;
2. если i>n, то стоп строка распакована, иначе i:=i+1;
3. node:= root;
4. если b(i)=0, то node:=left(node), иначе node:=right(node)
5. если left(node)=0 и right(node)=0, то j:=j+1, s(j):= str(node), перейти к шагу 2, иначе i:=i+1, перейти к шагу 4
В алгоритме корень дерева обозначен как root, а Left(node) и right(node) обозначают левый и правый потомки узла node.
Рис. 4.15. Процесс распаковки кода
На практике такие способы упаковки используются не только для текстов, но и для произвольных двоичных данных. Дело в том, что любой файл можно рассматривать как последовательность байт. Тогда дерево кодирования можно построить не для символов, а для значений байт, встречающихся в кодируемом файле. Поскольку байт может принимать 256 значений, то соответствующее дерево будет иметь не более 256 листьев. В узлах дерева после его полного построения нет необходимости хранить несколько значений кодов и частоты повторения. Для кодирования и декодирования достаточно хранить только одно значение кода и только для листового узла. Поэтому такой способ представления кодовой таблицы является достаточно компактным.
Схемы кодирования подобного типа используются в программах архивации данных и сжатия растровых изображений в форматах графических файлов.
