Оптимальное решение усложненной модели определения производственной программы
Усложнение модели определения производственной программы
Ячейки B10:D12 содержат нормы трудоемкости (времени) по производимым операциям, определяемые в соответствии с используемой технологией. Формулы для определения потребного количества часов по видам работ находятся в ячейках Е10:Е12. Имеющийся в распоряжении предприятия объем часов для выполнения технологических операций содержится в ячейках F10:F12. И, наконец, формулы для вычисления ограничений связи (между объемами производства и бинарными переменными) приведены в ячейках B15:D15 и имеют следующий вид:
Как Вы заметили, вместо того, чтобы вставлять в ячейки определенные нами выше величины параметров Мi, вы вставили в них формулы для вычисления этих величин.
Перейдем к решению задачи. Войдя в режим ПОИСК РЕШЕНИЯ меню СЕРВИС, в открывшемся диалоговом окне ПОИСК РЕШЕНИЯ укажем местонахождение целевой функции и изменяемых ячеек, а также введем ограничения задачи, как это показано на Рис. 7.12. Нажав кнопку параметры, установим параметры решения (см. Рис. 7.13), а затем решим задачу. В Табл. 7.22 приведено полученное оптимальное решение. В нем мы видим оптимальные значения объемов производства (X1=0, Х2=55,55 и Х3=33,33) и бинарных переменных (Y1=0, Y2=1, Y3=1).
Рис. 7.12. Ввод данных в диалоговое окно ПОИСК РЕШЕНИЯ
Поскольку при постановке задачи мы не требовали целочисленности объемов производства, полученные в решении дробные значения этих переменных не должны нас удивлять. Мы можем потребовать целочисленности указанных переменных, добавив еще одно ограничение для Xj. В результате повторного решения задачи можно получить целочисленное решение задачи при некотором снижении получаемой прибыли.
Рис. 7.13. Установление параметров решения в диалоговом окне ПАРАМЕТРЫ ПОИСКА РЕШЕНИЯ
Таблица 7.22
Если целевая функция и ограничения задачи не являются линейными функциями управляемых (оптимизируемых) переменных, то такая задача называется нелинейной и ее решение требует принципиально новых методов, которые известны под названием методов нелинейного программирования.
Несмотря на то, что лежащие в основе методов нелинейного программирования математические процедуры в значительно степени отличаются от соответствующих процедур, используемых в рамках решения линейных задач, технология решения линейных и нелинейных задач в ЭТ имеет много общего.
Особенности использования ЭТ для решения нелинейных задач мы рассмотрим на примере уже знакомой Вам задачи определения оптимальной производственной программы компании, внеся в неё ряд дополнений.
Рассматривая задачу в линейной постановке, мы считали, что единичная прибыль по производимым видам продукции известна и требуется определить оптимальные объемы производства. Однако, в ряде случаев менеджеру приходится определять не только объемы производства продукции, но и цену, по которой эта продукция будет реализовываться. В этом случае, единичная прибыль также как объемы производства становится управляемой переменной.
Устанавливая цену путем изменением прибыли продукции, менеджер отдает себе отчет в том, что излишне высокая цена может способствовать снижению спроса. Поэтому грамотный менеджер предварительно закажет специалистам маркетинговое исследование для определения зависимости спроса от уровня цены (например, с использованием техники регрессивного анализа). Допустим, что проведенное маркетинговое исследование установило, что цена производимых видов продукции не должна превышать 2500 руб. за штуку, а зависимости спроса от цены на следующий год для каждого из видов продукции имеют вид:
где П1, П2, П3, и П4 - спрос на продукцию каждого вида;
Ц1, Ц2, Ц3 и Ц4- цены на единицу продукции каждого вида.
Себестоимость (затраты) производства единицы продукции каждого вида С при этом составила:
Условия производства, характеризующиеся значениями ресурсных коэффициентов, не изменились, а имеющиеся запасы ресурсов увеличились, составив соответственно 160, 1300 и 1100.
Как нетрудно заметить, переменные П1, П2, П3 и П4 в данной постановке задачи уже не являются управляемыми переменными, поскольку их значения определяются не решениями менеджера, а установленными значениями цен Ц1, Ц2, Ц3 и Ц4 по формулам (7.5).
Целевая функция в данной постановке задачи также должна выражать требование максимизации прибыли. Поскольку единичная прибыль теперь не задается, она может быть вычислена в виде разности между ценой и себестоимостью производства. Окончательно целевая функция будет иметь следующий вид:
Подставив в полученное выражение значения переменных, выражающих спрос (П1, П2, П3 и П4), определяемые в соответствие с формулами (7.5), получим
Нетрудно заметить, что полученная целевая функция не является линейной относительно независимых (оптимизируемых) переменных Ц1, Ц2, Ц3 и Ц4, поскольку они встречаются в ней во второй степени.
Перейдем теперь к построению системы ограничений. Поскольку условия производства (технология) не изменились по сравнению с линейной постановкой задачи, имеем следующую систему ограничений на ресурсы:
где
Заметим, что подставив выражения для объемов спроса по видам продукции (7.7) в ограничения по ресурсам (7.6), можно получить ограничения по ресурсам, записанные как функции управляемых переменных Ц1...Ц4.
Используя технологию, рассмотренную нами в разделе "Пример постановки линейной задачи", перенесем построенную модель в электронную таблицу, окончательный вид которой приведен в Табл. 7.23.
