Глобальная интерполяция. Рассмотрим интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.

1. Интерполяционный многочлен Лагранжа:

L(x) = ;

при x = 0,4; y » L(x) = 0,3999.

Найдем выражение для полинома Лагранжа при n = 1 и x_T = 0,4:

что соответствует (5.28).

Для n = 2 и x_T = 0,4, y » L(x) =.

Для рассматриваемого интервала [x₁, x₃] берем x₀ = 0,1; x₁ = 0,3; x₂ = 0,5; y₀ = 0; y₁ = 0,2; y₂ = 1. Тогда

y » L(x) = 0,2×;

что соответствует (5.29).

На рис. 5.4 представлен алгоритм расчета интерполяционного многочлена Лагранжа, реализованный в виде функции PL со следующими параметрами:

x_T – значение текущей точки;

, – одномерные массивы известных значений x и f(x);

n – размер массивов , .

В схеме введены следующие обозначения:

p – значение накапливаемой суммы, результат которой равен L(x_Т);

e – значение очередного члена произведения.

Результатом функции PL является значение p.

2. Интерполяционный многочлен Ньютона рассмотрим для случая неравноотстоящих узлов при n = 3:

N₃(x) = f(x₀) + (x – x₀)f(x₀, x₁) + (x – x₀)(x – x₁) f(x₀, x₁, x₂) +

+ (x – x₀)(x – x₁)(x – x₂) f(x₀, x₁, x₂, x₃).

По схеме табл. 5.2 находим раздельные разности:

f(x₀, x₁) =;

f(x₁, x₂) =;

f(x₂, x₃) =;

f(x₀, x₁, x₂) =

f(x₁, x₂, x₃) =

f(x₀, x₁, x₂, x₃) =.

Рис. 5.4

Результаты расчетов поместим в табл. 5.3:

Таблица 5.3

Используя первые в столбцах разделенные разности, получаем

N₃(x) = –0,5 + (x – 0)×5 + (x – 0)(x – 0,1)(– 40/3) +

+ (x – 0)(x – 0,1)(x – 0,3)×125/3 = x³ – 30x² + x – 0,5. (5.30)

Напомним, что расчеты интерполяционного многочлена Ньютона выполняются по формуле

,

где x_T – текущая точка, в которой нужно вычислить значение многочлена; – разделенные разности порядка k, которые вычисляются по следующим рекуррентным формулам:

Схема алгоритма расчета многочлена Ньютона, реализованная в виде функции PN с параметрами, значения которых аналогичны рассмотренной ранее функции PL, представлена на рис. 5.5. Результатом функции PN является значение N.

Рис. 5.5