Приближенные числа и оценка их погрешностей

При численном решении задач приходится оперировать двумя видами чисел – точными и приближенными. К точным относятся числа, которые дают истинное значение исследуемой величины. К приближенным относятся числа, близкие к истинному значению, причем степень близости и определяется погрешностью вычислений.

Результатами вычислений являются, как правило, только приближенные числа. Поэтому для указания области неопределенности результата вводятся некоторые специальные понятия, широко используемые при подготовке исходных данных или (и) оценке погрешности численных решений.

Если х – точное, вообще говоря, неизвестное значение некоторой величины, а а – его приближенное значение, то разность х – а называется ошибкой, или погрешностью приближения. Часто знак ошибки х – а неизвестен, поэтому используется так называемая абсолютная погрешность D(Х) приближенного числа а, определяемая равенством

D(Х) = | х – а |, (1.1)

откуда

х = а ± D(Х). (1.2)

Изучаемая числовая величина х именованная, т. е. определяется в соответствующих единицах измерения, например, в сантиметрах, килограммах и т. п. Погрешность (1.1) имеет ту же размерность.

Однако часто возникает необходимость заменить эту погрешность безразмерной величиной – относительной погрешностью. При этом из-за незнания точного значения изучаемой величины принято называть относительной погрешностью величину

. (1.3)

Относительную погрешность часто выражают в процентах: ×100 %. Она сопоставима в идентичных экспериментах, т. е. характеризует качество измерения, а именно, точность результата лучше характеризуется его d(Х), так как абсолютная погрешность D(Х) не достаточна, например, для характеристики качества измерения двух стержней l₁ = 100,8 ± 0,1 см и l₂ = 5,2 ± 0,1 см. Очевидно, что качество измерения первого значительно выше.

В связи с тем что точное значение х, как правило, неизвестно, формулы (1.1) – (1.3) носят сугубо теоретический характер.

Для практических целей вводится понятие предельной погрешности. Предельная абсолютная погрешность Dа – это верхняя оценка модуля абсолютной погрешности числа х, т. е.

| Dх | £ Da.

При произвольном выборе Dа всегда стремятся каким-либо образом взять наименьшим. Истинное значение числа х будет находиться в интервале с границами (а – Dа) – с недостатком и (а + Dа) – с избытком, т. е.

( а – Dа ) £ х £ ( а + Dа ).

Обычно для приближенных чисел по результатам округлений в качестве Dа принимают единицу или 1/2 единицы оставленного разряда числа. Первое условие называют погрешностью в «широком» смысле, второе - в «узком» смысле.

Пример погрешностей в «узком» смысле:

Предельная относительная погрешность также может выражаться в процентах. При локальных ручных расчетах и на этапе подготовки исходных данных существуют определенные правила оценки предельных погрешностей для арифметических операций:

;

;

;

;

D(а ± Db) = Dа + Db;

D(а× b) = a× b[ d(а)+ d(b)] = bDа + aDb;

;

;

где d – относительная предельная погрешность; m – рациональное число; D – предельная абсолютная погрешность.

Следует отметить, что приведенные оценки погрешностей приближенных чисел справедливы, если в записи этих чисел все «значащие» цифры «верны». Определение этих понятий рассмотрим ниже.