Одно и то же число может быть представлено в различных системах счисления. Привычной для нас является десятичная система счисления, в которой для записи чисел используются 10 различных цифр: 0, 1, 2, ..., 9.
При записи чисел используется позиционная система, при которой значение одной и той же цифры зависит от ее места в записи.
Запись чисел осуществляется справа налево. Крайняя справа цифра означает единицы, та же цифра, смещенная на одну позицию влево, означает уже десятки, еще левее - сотни и т.д.:
6421 = 6*103 + 4*102 + 2*101 + 1*100
тысячи сотни десятки единицы
Количество различных цифр, используемых для представления чисел, называют основанием системы счисления.
Если основание системы d, то перевод чисел из этой системы в десятичную систему осуществляется по следующей формуле:
N = an-1*dn-1+an-2*dn-2+ ... + a1*d1+a0*d0,
Где аn-1аn-2 ... А1а0 - число, записанное в системе счисления с основанием d.
В двоичной системе, то есть в системе с основанием 2, для записи чисел используются 2 цифры: 0 и 1.
Например:
10011011 2
Это двоичное 8-ми разрядное число, которому в десятичной системе соответствует значение 1*27+0*26+0*25+1*24+1*23 + 0*22 +1*21+1*20 =15710,
То есть 100110112 =15710 .
Преобразование числа из десятичной системы в двоичную осуществляется несколько сложнее, путем многократного деления числа на 2. Если на некотором шаге деления возникает остаток, то в соответствующий разряд двоичного числа записывается 1. Если остатка нет, то записывается 0. Например:
29 : 2 = 14 - остаток 1
14 : 2 = 7 - остаток 0
7 : 2 = 3 - остаток 1
3 : 2 = 1 - остаток 1
1 : 2 = 0 - остаток 1
двоичное число: 1 1 1 0 1
Очевидно, что представление чисел в двоичной системе длиннее, чем в десятичной. Но этот недостаток в компьютерах компенсируется за счет простоты технической реализации устройств хранения информации, использующих бистабильные (имеющие два возможных состояния) элементы.
Арифметические операции над двоичными числами осуществляются так же, как и над десятичными, только перенос единицы в старший разряд осуществляется, как только предыдущий разряд становится равным 2.
Например:
7 = 111
+
5 = 101
12 = 1100
Отрицательные числа в компьютерах представляются в дополнительном коде. Для получения дополнительного кода двоичного числа необходимо инвертировать это число (заменить все 0 на 1, а 1 на 0) и прибавить в младшем разряде 1.
Например: используется 6 разрядное представление двоичных чисел. 7 = 000111; -7 = 111001 - это дополнительный код.
дополнительный код получен так:
1) инверсия 000111 равна 111000:
2) добавляем 1:
+ 1
111001 - это представление числа -7 в дополнительном коде.
При таком представлении чисел вычитание двух чисел а - в выполняется как сложение а + (-в).
например: 001100 = 12
+
111001 = -7 в дополнительном коде
(1) 000101 = 5
единица переноса в старший разряд при выполнении операции
отбрасывается.
Таким образом, отпадает необходимость в отдельном устройстве для операции вычитания.
Сдвиг числа на один разряд влево увеличивает число в 2 раза; сдвиг на один разряд вправо - уменьшает его в 2 раза:
001100 = 12 001100 = 12
011000 = 24 000110 = 6
В компьютерах числа представляются в двоичной форме с определенным количеством разрядов. Обычно разрядность компьютеров равна одному из следующих значений: 8, 16, 32, 64.
Ограниченная разрядность приводит к ограничению диапазона используемых чисел. Если разрядность компьютера равна n, то количество различных чисел, которые можно представить с помощью n-разрядных двоичных последовательностей будет равна
n = 2n
Например, если разрядность компьютера равна 16, то количество различных двоичных последовательностей будет равно
216 = 26+10 = 64 * 1024 = 65536.
Для измерения количества информации используются следующие единицы:
- Один двоичный разряд, в котором можно записать два возможных значения - 0 или 1 - называется бит;
- 8 последовательных двоичных разрядов (8 бит) называется байтом; с помощью 1 байта можно представить 28 = 256 различных двоичных последовательностей;
- 1024 байта называется килобайтом (сокращенно – кбайт или просто к);
- 1024 кбайта называют мегабайтом (сокращенно - мбайт или просто м).
29 : 2 = 14 - остаток 1
14 : 2 = 7 - остаток 0
7 : 2 = 3 - остаток 1
3 : 2 = 1 - остаток 1
1 : 2 = 0 - остаток 1
12 = 1100
