Теорема Эйлера

Шифрование с использованием алгоритма RSA

Идея, положенная в основу метода, состоит в том, чтобы найти такую функцию y=Φ(x), для которой получение обратной функции x=f^-1(y) было бы в общем случае очень сложной задачей (NP-полной задачей). Например, получить произведение двух чисел n=p×q просто, а разложить n на множители, если p и q достаточно большие простые числа, – NP-полная задача с вычислительной сложностью ~ n¹⁰. Однако если знать некую секретную информацию, то найти обратную функцию x=f^-1(y) существенно проще. Такие функции также называют односторонними функциями с лазейкой или потайным ходом.

Применяемые в RSA прямая и обратная функции просты. Они базируются на применении теоремы Эйлера из теории чисел.

Прежде чем сформулировать теорему Эйлера, необходимо определить важную функцию Φ(n) из теории чисел, называемую функцией Эйлера. Это число взаимно простых (взаимно простыми называются целые числа, не имеющие общих делителей) с n целых чисел, меньших n. Например, Φ(7)=6. Очевидно, что, если p и q – простые числа и pq, то Φ(p)=p-1, и Φ(pq)=(p-1)×(q-1).

Теорема Эйлера утверждает, что для любых взаимно простых чисел x и n (x < n)

x^Φ(n)mod n = 1

или в более общем виде

x^kΦ(n)+1mod n = 1

Сформулируем еще один важный результат. Для любого m>0 и 0<e<m, где e и m взаимно просты, найдется единственное 0<d<m, такое, что

de mod m = 1.

Здесь d легко можно найти по обобщенному алгоритму Евклида (см., например, Д. Кнут. Искусство программирования на ЭВМ, т.2, 4.5.2). Известно, что вычислительная сложность алгоритма Евклида ~ ln n.

Подставляя Φ(n) вместо m, получим de modΦ(n)=1

или

de = kΦ(n)+1

Тогда прямой функцией будет

Φ(x) = x^e mod n

где x – положительное целое, x<n=pq, p и q – целые простые числа и, следовательно,

Φ(n)=(p-1)(q-1)

где e – положительное целое и e<Φ(n). Здесь e и n открыты. Однако p и q неизвестны (чтобы их найти, нужно выполнить разбиение n на множители), следовательно, неизвестна и Φ(n), а именно они и составляют потайной ход.

Вычислим обратную функцию

Φ^-1(y) = y^d mod n = x^ed mod n = x^kΦ(n)+1 mod n = x

Последнее преобразование справедливо, поскольку x<n и x и n взаимно просты.

При практическом использовании алгоритма RSA вначале необходимо выполнить генерацию ключей. Для этого нужно:

1. Выбрать два очень больших простых числа p и q;
2. Вычислить произведение n=p×q;
3. Выбрать большое случайное число d, не имеющее общих сомножителей с числом (p-1)×(q-1);
4. Определить число e, чтобы выполнялось

(e×d)mod((p-1)×(q-1))=1.

Тогда открытым ключом будут числа e и n, а секретным ключом – числа d и n.

Теперь, чтобы зашифровать данные по известному ключу {e,n}, необходимо сделать следующее.

• Разбить шифруемый текст на блоки, где i-й блок представить в виде числа M, величина которого меньше, чем n. Это можно сделать различными способами, например используя вместо букв их номера в алфавите.
• Зашифровать текст, рассматриваемый как последовательность чисел m(i), по формуле c(i)=(m(i)^e)mod n.

Чтобы расшифровать эти данные, используя секретный ключ {d,n}, необходимо вычислить: m(i) = (c(i)^d) mod n. В результате будет получено множество чисел m(i), которые представляют собой часть исходного текста.

Например, зашифруем и расшифруем сообщение «AБВ», которое представим как число 123.

Выбираем p=5 и q=11 (числа на самом деле должны быть большими).

Находим n=5×11=55.

Определяем (p-1)×(q-1)=40. Тогда d будет равно, например, 7.

Выберем e, исходя из (e×7) mod 40=1. Например, e=3.

Теперь зашифруем сообщение, используя открытый ключ {3,55}

Теперь расшифруем эти данные, используя закрытый ключ {7,55}.

Таким образом, все данные расшифрованы.