Методы одномерной оптимизации.

G множество допустимых

Процесс оптимизации.

Имеется задача. Для решения задачи нужно формализовать объект и представить его в виде математической модели.

Модели:

- физические;

- геометрические (фотография, рисунок);

- математические.

Математическая модель, та которая определена с помощью математических формализмов. Математическая модель не является точной, а является идеализацией. Модель характеризуется параметрами, которые могут быть и числовыми . Их часть может характеризовать состояние объекта – параметры состояния , а другие могут относиться к процессу проектирования – переменные проектирования .

Определение параметров состояния - задача моделирования. Определение переменных проектирования – задачи проектирования или задачи оптимизации.

Допустим имеются 2 переменные . Задавая конкретные значения получаем точку.

R – множество чисел

R

вариантов

p₂ допустимое решение

p₁

недопустимое решение – не удовлетворяющее наложенным ограничениям

Плоскость множества возможных вариантов, на нее могут быть наложены ограничения.

Отображение множества - целевая функция позволяет формировать критерий для сравнения различных решений.

2 вида задач оптимизации:

- максимизации;

- минимизации.

Для оптимизационного решения задачи требуется:

1. Сформулировать задачу;
2. Построить математическую модель (определить множество переменных);
3. Определить ограничения на возможные решения;
4. Определить целевую функцию. Далее применим формальные математические методы, позволяющие найти решения.

Постановка: требуется оптимизировать х (формальная постановка)

- функция одной переменной

- целевая функция.

Решение: найти х, при котором принимает оптимальное значение.

2 варианта:

- минимизировать – задача минимизации;

- максимизировать – задача максимизации.

Рассмотрим случай минимизации

2 способа:

- аналитический

- численный

В аналитическомзадается в виде формулы, в численном задается в виде черного ящика, на входе подается х, на выходе значение целевой функции в этой точке.

Пусть функция определена в некоторой области S (), в случае одномерной оптимизации S – интервал :

1. точка называется глобальным минимумом, если для
2. точка называется строгим глобальным минимумом, если для
3. точка называется локальным минимумом, если для
4. точка называется строгим локальным минимумом, если для

Следствие:любая точка глобального минимума является локальным минимумом, обратное не верно.