Алфавит исчисления высказываний

Понятие высказывания

Исчисление высказываний.

Высказывание есть утвердительное предложение, которое либо истинно, либо ложно, но не то и другое вместе. «Истина» или «ложь», приписанная некоторому высказыванию, называется истинностным значением этого высказывания. Причины истинности или ложности высказываний бывают разными. Рассмотрим три истинных высказывания:

· Земля вертится;

· За день до своей смерти он был еще жив;

· Если верно, что когда идет дождь, то дорога мокрая, то справедливо также и следующее утверждение: если дорога сухая, то дождя нет.

Первое предложение выражает некоторый факт из физики и астрономии и является фактической истиной.

Чтобы убедиться в правильности второго предложения, достаточно понимать смысл слов: это предложение является истиной языка.

Чтобы принять третье утверждение, достаточно понимать смысл некоторых слов (если…то, нет), а также знать, что части фразы «идет дождь» и «дорога мокрая» являются высказываниями, которые могут быть истинными или ложными, однако все предложение останется истинным, если заменить эти два высказывания другими. Если эти высказывания заменить переменными x и y, то предложение «если из x следует y, то из не y следует не x». Такие истины называются логическими истинами независимо от смысла (интерпретации) x и y.

Исчисление высказываний – формальная логическая система. Множество ее базовых элементов составляют логический словарь (алфавит) T из бесконечного счетного множества высказываний, обозначаемых строчными латинскими буквами (иногда с индексами) и называемых атомами и пяти элементарных логических функций (связок):

«отрицание» -Ш, ~, -, not, не;

«конъюнкция» - Щ, &, and, и;

«дизъюнкция» - Ъ, ч, or, или;

«импликация» - ®, Й, Ю;

«эквивалентность» - «, є, Ы.

Приведем таблицы истинности для перечисленных выше логических функций.

Операция отрицания является унарной операцией, обозначается Шx и означает противоположное x значение.

Таблица 1. Таблица истинности для отрицания.

x	Шx
И	Л
Л	И

Конъюнкция является бинарной операцией, обозначается x Щ y, читается как « x и y» и являетсяистинной тогда и только тогда, когда истинны обе переменные.

Таблица 2. Таблица истинности для конъюнкции.

x	y	x Щ y
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Дизъюнкция является бинарной операцией, обозначается x Ъ y,читается как « x или y» и является ложной тогда и только тогда, когда ложны обе переменные.

Таблица 3. Таблица истинности для дизъюнкции.

x	y	x Ъ y
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Импликация является бинарной операцией, обозначается x ®y,читается, как « из x следует y» и является ложной тогда и только тогда, когда x истинна, а y - ложна.

Таблица 4. Таблица истинности для импликации.

x	y	x ® y
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Эквивалентность является бинарной операцией, обозначается x « y,читается как « x тождественно y» и является истинной тогда и только тогда, когда значения обеих переменных совпадают.

Таблица 5. Таблица истинности для эквивалентности.

x	y	x « y
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И