Математическое моделирование (ММ)

Под математическим моделированием понимают изучение свойств объекта на математической модели. Математической моделью называется приближенное описание процесса или явления с помощью математической символики.

Преимущества ММ:

– позволяет осуществить с помощью одного устройства решение целого класса задач, имеющих одинаковое математическое описание;

– обеспечивает простоту перехода от одной задачи к другой, введение переменных параметров, возмущений и различных граничных условий;

– дает возможность моделирования по частям (по элементарным процессам);

– использует эффективное средство исследования процессов – ЭВМ, которое непрерывно совершенствуется;

– экономичнее физического моделирования как по затратам времени, так и по стоимости.

Существенным недостатком математического моделирования является трудоемкость детального описания свойств изучаемой сложной химической системы с помощью современного математического аппарата.

Классификация моделей по временно-пространственному признаку

Все химико-технологические процессы, исходя из временного и пространственного признаков, можно разделить на четыре класса:

– процессы неизменные во времени (стационарные);

– процессы переменные во времени (нестационарные);

– процессы с неизменными в пространстве параметрами;

– процессы с изменяющимися в пространстве параметрами.

Поскольку математические модели являются отражением соответствующих процессов, то для них характерны те же классы:

– модели, неизменные во времени, – статические модели;

– модели, переменные во времени, – динамические модели;

– модели, с неизменными в пространстве параметрами, – модели с сосредоточенными параметрами;

– модели, с изменяющимися в пространстве параметрами, – модели с распределенными параметрами.

Рассмотрим перечисленные классы моделей.

Статическая модель отражает работу объекта в стационарных условиях. Соответственно ее математическое описание не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределенными параметрами. В качестве примера объекта, описываемого статической моделью, можно привести аппарат идеального перемешивания объемом с установившимся режимом работы при непрерывной подаче реагентов A и B в количестве и , и непрерывном отводе продуктов реакции (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Схема аппарата идеального

перемешивания

Математическое описание аппарата включает следующие уравнения материального баланса:

, . (1.9)

Здесь k – константа скорости реакции; и – соответственно концентрации реагентов А и В на входе в реактор и выходе из него.

Динамическая модель отражает изменение объекта во времени. Математическое описание таких моделей всегда включает производную по времени. Примером динамической модели может служить рассмотренный выше аппарат идеального перемешивания, работающий в нестационарном режиме. В этом случае математическое описание аппарата включает следующие уравнения материального баланса:

, , (1.10)

при начальных условиях , , .

Для моделей с сосредоточенными параметрами характерно постоянство переменных в пространстве. Их математическое описание включает алгебраические уравнения аналогичные уравнению (1.9) либо дифференциальные уравнения аналогичные уравнению (1.10) первого порядка для нестационарных процессов. Примером объекта, описываемого данной моделью, может также служить аппарат идеального перемешивания.

У моделей с распределенными параметрами переменные процесса изменяются и во времени, и в пространстве, или только в пространстве. Их математическое описание обычно включает дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения в случае стационарных процессов с одной пространственной переменной. Примером процесса, описываемого такими моделями, являются трубчатые аппараты с большим отношением длины к диаметру и значительной скоростью движения потока.

2. Основные принципы и направления
при построении и решении математических моделей

В ходе математического моделирования всегда приходится решать три основные задачи:

– составление модели;

– нахождение решения модели;

– проверку модели на адекватность.

Рассмотрим последовательно все три задачи.