Изменение характера нелинейности модели

Решение дифференциальных уравнений Ван_дер_Поля

Продолжим рассмотрение моделирования колебательных систем. Системы второго порядка, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка, занимают важное место в таком фундаментальном разделе физики, как теория колебаний. Именно на базе подобных систем созданы многочисленные генераторы периодических колебаний самого различного типа – от LC_генераторов до лазерных и иных квантовых генераторов.

Пример моделирования типовой системы второго порядка есть в наборе демонстрационных примеров пакета Simulink. Модель такой системы представлена на рис. 1.7. Эта система описывается хорошо известным нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка Ван_дер_Поля (или двумя уравнениями первого порядка).

u" + (u² - b) u' + u = 0 ,

где u, u' и u" - функция, её первая и вторая производные по времени t,

b - произвольный параметр. Параметр b определяет потери в системе, а слагаемое u² в скобках - её нелинейные свойства (например, рабочие характеристики активного элемента автогенератора).

Данное дифференциальное уравнение второго порядка можно привести к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка

y₁' = (1 - y₂²) y₁ - y₂ ,

y₂' = y₁ ,

где y₁ = u' и y₂ = u, а параметр b принят равным единице.

Как нетрудно заметить, данная модель представляет собой усилитель с нелинейным элементом Fcn, позволяющим задать тип нелинейности, с положительной обратной связью и имеет в своем тракте блоки, ослабляющие как высокие, так и низкие частоты.

Колебания в такой системе возникают на некоторой частоте, для которой фазовый сдвиг тракта равен нулю, а малосигнальный петлевой коэффициент передачи превышает 1. Характер развития колебательного процесса в решающей мере зависит от характера нелинейности, заданного в блоке Fcn. На рис. 1.7 показан и результат моделирования. В данном случае виртуальный осциллограф отображает две кривые, соответствующие выходным портам Out 1 и Out 2. Для этого перед осциллографом размещен блок мультиплексора Mux с двумя входами. Результат моделирования отображается в виде временных зависимостей выходных сигналов. Они представляют собой периодические колебания, форма которых заметно отличается от синусоидальной, что является следствием нелинейности моделируемой системы.

Результат на рис. 2.7 получен для зависимости вида F(u) = 1 – u*u (окно задания нелинейности представлено на рис. 2.7 в левом нижнем углу). Допустим, нас интересует поведение системы для иной нелинейности, скажем F(u) = 1 – exp(u).

Для замены нелинейности достаточно сделать двойной щелчок на блоке Fcn. В появившемся окне параметров надо вместо функции по умолчанию ввести новую функцию, отражающую нелинейность модели. Это и показано на рис. 1.8.

После уточнения нелинейности и закрытия окна параметров можно запустить измененную модель. Результаты также представлены на рис. 2.8. Сравнение временных диаграмм (осциллограмм) выходных сигналов на рис. 1.7 и рис. 1.8 показывает существенные изменения в характере поведения системы. Во втором варианте предварительная стадия занимает больше времени, и колебания во время переходного процесса имеют существенно большую амплитуду, чем в стационарном режиме.