Алгебра Буля.

Выше отмечено: равносильности третьей группы говорят о том, что алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными законами относительно операций конъюнкции и дизъюнкции и дистрибутивным законом конъюнкции относительно дизъюнкции. Как известно, эти же законы имеют место и в алгебре чисел. Поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые проводятся в алгебре чисел: раскрытие скобок, заключение в скобки, вынесение за скобки общего множителя.

Но в алгебре логики возможны и другие преобразования, основанные на использовании, например, таких равносильностей:

(7) (16)

(П) (17)

(П) и т.д.

Эта особенность позволяет прийти к далеко идущим обобщениям.

Рассмотрим непустое множество М элементов любой природы: {x; y; z;…}, в котором определены отношение “=” (равно) и три операции: “+”( сложение), “·” ( умножение) и “-” (отрицание), подчиняющиеся следующим аксиомам:

Коммутативные законы:

1а. 1б.

Ассоциативные законы:

2а. . 2б..

Дистрибутивные законы:

3а. 3б. .

Законы идемпотентности:

4а. 4б.

Закон двойного отрицания:

5. .

Законы де Моргана:

6а. 6б. .

Законы поглощения:

7а. . 7б. .

Такое множество М называется БУЛЕВОЙ АЛГЕБРОЙ.

Если под основными элементами x,y,z,…подразумевать высказывания, под операциями “+”, “·”, “–“ дизъюнкцию, конъюнкцию, отрицание соответственно, а знак равенства рассматривать как знак равносильности, то, как следует из равносильностей рассмотренных выше трех групп, все аксиомы булевой алгебры выполняются.

В тех случаях, когда для некоторой системы аксиом удается подобрать конкретные объекты и конкретные соотношения между ними так, что все аксиомы выполняются, говорят, что найдена интерпретация (или модель) данной системы аксиом.

Значит, алгебра логики является интерпретацией булевой алгебры. Алгебра Буля имеет и другие интерпретации. Например, если под основными элементами x,y,z,…множества М подразумевать множества, под операциями “+”, “·”,
“–“ объединение, пересечение, дополнение соответственно, а под знаком равенства – знак равенства множеств, то мы приходим к алгебре множеств. Нетрудно убедиться, что в алгебре множеств все аксиомы алгебры Буля выполняются.

Среди различных интерпретаций булевой алгебры имеются интерпретации и технического характера. Одна из них будет рассмотрена нами ниже. Как будет показано, она играет важную роль в автоматике.