Тогда x1 будет правильной дробью и к этому числу можно применить ту же самую процедуру для определения следующего коэффициента q-2 и т.д.

Заметим, что поскольку все операции выполняются в системе счисления с основанием Р, то в этой же системе будут получены искомые коэффициенты qi, поэтому их необходимо записать одной Q-ичной цифрой.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено Ni+1=0.

Положим

N₁=[N/Q]= q_sQ^s-1+ q_s-1Q^s-2+…+ q₁ .

Тогда N₁ будет целым числом и к нему можно применить ту же самую процедуру для определения следующего коэффициента q₁ и т.д.

Таким образом, при условии что N₀ = N, перевод чисел с использованием Р-ичной арифметики осуществляется по следующим рекуррентным формулам:

q_i = Q[N_i / Q], (3.15)

N_i+1 = [N_i / Q] (i=0, 1, 2).

2. Перевод дробных чисел. Пусть необходимо перевести в Q-ичную систему счисления правильную дробь х (0 < х < 1 ), заданную в Р-ичной системе счисления.

Так как х < 1, то число х в Q-ичной системе счисления можно представить в виде полинома

x = q_-1Q^-1 + q_-2Q^-2 + … + q_-m Q^-m +…, (3.16)

где q_-i (i = 1, 2, ...) - искомые коэффициенты Q-ичного разложения
числа х. Для определения q_-1 умножим обе части равенства (3.16) на
число Q, причем в левой части произведем умножение, пользуясь
правилами Р-ичной арифметики (так как запись числа x в Р-ичной
системе счисления известна), а правую часть перепишем в виде

xQ = q_-1 + q_-2Q^-1 + q_-mQ^-m+… .

Приравняем между собой полученные в правой части этого выражения целые и дробные части (учитывая, что 0 < q_i < Q):

[xQ]=q_-1 ,

[xQ]=q_-2Q^-1 + … + q_-mQ^-m+1 +…

Таким образом, младший коэффициент q_-1 в разложении (3.16) определяется соотношением

q_-1 = [x_iQ].

Положим

x₁ = [xQ] = q_-2Q^-1 +…+ q_-mQ^-m+1 +… .

Таким образом, при условии, что x₀=x, перевод дроби с использованием Р-ичной арифметики осуществляется по следующим рекуррентным формулам:

q_-(i+1) = [x_iQ],

x_i+1 = [x_iQ] (i=0,1,2,…) (3.17)

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено x_­i+1=0 или не будет достигнута требуемая точность изображения числа.

Замечание. При переводе приближенных дробей из одной системы счисления в другую необходимо придерживаться следую­щего правила.

Если единица младшего разряда числа х, заданного в Р-ичной системе счисления, есть P^-k, то в его Q-ичной записи следует сохранить z разрядов после запятой, где z удовлетворяет условию

Q^-z > P^-k/2 > Q^-(z+1) ,

округляя последнюю оставляемую цифру обычным способом.

Смешанные системы счисления

В ряде случаев числа, заданные в системе счисления с основанием Р, приходится изображать с помощью цифр другой системы счисления с основанием Q, где Q<P. Такая ситуация возникает, например, когда в ЭВМ, способной непосредственно воспринимать только двоичные числа, необходимо изобразить десятичные числа, с которыми мы привыкли работать. В этих случаях используются смешанные системы счисления, в которых каждый коэффициент Р-ичного разложения числа записывается в Q-ичной системе. В такой системе Р называется старшим основанием, a Q - младшим основанием, а сама смешанная система называется (Q - Р)-ичной. Для того чтобы запись числа в смешанной системе счисления была однозначной, для представления любой Р-ичной цифры отводится одно и то же количество Q-ичных разрядов, достаточное для предс­тавления любого базисного числа Р-ичной системы. Так, в сме­шанной двоично-десятичной системе счисления для изображения каждой десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда. Например, десятичное число х = 925 в двоично-десятичной системе запишется в виде 1001 0010 0101. Здесь последовательные четверки (тетрады) двоичных разрядов изображают цифры 9, 2, 5 записи числа в десятичной системе счисления. Следует обратить внимание, что хотя в двоично-десятичной записи числа и используются только цифры 0 и 1, эта запись отличается от двоичного изображения данного числа. Например, приведенный выше двоичный код в двоичной системе счисления изображает число 2341, а не число 925.

Условимся изображать принадлежность числа к (Q - Р)-ичной системе счисления с помощью нижнего индекса (Q - Р) при данном числе, например: 925₁₀= 100100100101_2-10

Аналогично рассмотренной выше двоично-десятичной системе можно использовать и другие смешанные системы при различных значениях Р и Q. Особого внимания заслуживает случай, когда Р = Q^z, где z - целое положительное число. В этом случае запись какого-либо числа в смешанной системе тождественно совпадает с изображением этого числа в системе счисления с основанием Q (что не имеет места в двоично-десятичной системе в общем случае ).

Докажем это утверждение. Рассмотрим произвольное целое число N. В Р-ичной системе счисления это число будет записано в виде

p_np_n-1…p₁p₀,

основанном на представлении

N=p_npⁿ+p_n-1p^n-1+…+p₁p¹+p₀ (3.10)

где p_i, i = 0, 1, .... n являются базисными числами этой системы.

Каждый коэффициент p_i будет записываться в Q-ичной системе счисления в виде,

p_i = q_i,z-1 q_i,z-2 … q_i,z q_i,0

основанном на представлении

p_i = q_i,_z-1Q^z-1 + q_i,_z-2Q^z-2 +… + q_i,₁Q¹ + q_i,₀ (3.11)

где q_i,j - базисные числа системы счисления с основанием Q.

Тогда в смешанной системе счисления число N будет запи­сываться в виде

N = q_n,z-1 q_n,z-2 … q_n,0 q_n-1,z-1 … q_n-1,0 …q_0,z-1… q_0,0

Подставляя (3.11) в (3.10) и учитывая соотношение Р = Q^z , получим

N = q_n,_z-1Q^nz+z-1 + q_n,_z-2Q^nz+z-2 +…+ q_n,₀Q^nz + q_n-1,_z-1Q^nz-1 + q_n-1,₀Q^nz-1 +…+

+q₀,_z-1Q^nz-1 +…+ q₀,_z-1Q^z-1 +…+ q₀,₀Q⁰ (3.12)

т.е. разложение числа N по степеням Q. Поэтому запись числа N в Q-ичной системе счисления, соответствующая разложению (3.12), будет
иметь вид

N = q_n,z-1 q_n,z-2 … q_n,0 q_n-1,z-1 … q_n-1,0 …q_0,z-1… q_0,0 .

Как видно, эта запись тождественно совпадает с приведенной выше записью числа N в смешанной системе счисления, где каждая очередная группа из z цифр является просто изображением соответствующего коэффициента p_i, в системе счисления с осно­ванием Q.

Все сказанное выше относительно целых чисел автоматически переносится и на случай произвольных чисел. Таким образом, изображение числа x: в Р-ичной системе счисления в случае Р = Q^z является просто сокращенной записью изображения этого же числа х в Q-ичной системе .

Рассмотренное выше свойство некоторых смешанных систем широко используется на практике для сокращенной записи чисел, заданных в системе счисления с небольшим основанием. Для этого в исходной записи числа разряды объединяются вправо и влево от точки в группы некоторой длины (добавляя в случае необходимости левее старшей или правее младшей значащих цифр соответствующее количество нулей), и каждая такая группа записывается одной циф­рой другой системы, основание которой равно соответствующей степени исходного основания.