Частные производные высших порядков

Для функции одной переменной производная n–го порядка определялась следующим образом: . Аналогично определяются и частные производные высших порядков.

Частной производной n–го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной (n–1)–го порядка той же функции.

При этом учитывается, что производные можно вычислять по различным переменным. Так, функция двух переменных имеет две частных производных 1–го порядка: и , четыре частных производных 2–го порядка:

, , , , восемь частных производных 3–го порядка (от каждой из четырех производных 2–го порядка можно найти производную как по x, так и по y), например, , .

Частные производные высших порядков обозначают также , , , , , . Частная производная 2–го или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешенной частной производной.

Справедлива теорема:

Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

Так,

Пример. Показать, что

Решение.

Вопросы для контроля

1. Что называется областью определения функции?

2. Какая функция называется четной (нечетной)?

3. Как найти нули функции?

4. Что называется асимптотой графика функции?

5. Какие асимптоты может иметь график функции?

6. Как найти асимптоты графика функции?

7. Какие точки называются стационарными точками?

8. Какие точки называются точками экстремума функции?

9. Какая точка называется точкой минимума функции?

10. Какая точка называется точкой максимума функции?

11. Какие интервалы называются интервалами монотонности функции?

12. Сформулируйте правило нахождения интервалов монотонности.

13. Какой график называется выпуклым вверх?

14. Какой график называется выпуклым вниз?

15. Сформулируйте правило нахождения интервалов выпуклости графика функции.

16. Какая точка называется точкой перегиба графика функции?

17. Сформулируйте правило нахождения точек перегиба графика функции.

18. Что такое частные производные?

19. Как находятся частные производные?