Работа с матрицами

Работа с массивами. Понятие массива. Формула массива

План проведения занятия

1. Работа с массивами. Понятие массива. Формула массива

2. Работа с матрицами.

2.1. Сложение и вычитание матриц.

2.2. Вычисление обратной матрицы.

2.3. Умножение матриц.

2.4. Вычисление определителя матрицы.

2.5. Транспонирование матрицы.

3. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

4. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Под массивом в табличном процессоре понимается простой блок ячеек (единый прямоугольный диапазон), данные в которых имеют одинаковую структуру. Данными массива могут быть константы (массив констант) или формулы.

Массивконстант может быть представлен в явном виде (например, {1;2;3; 4;5;6; 7;8;9}).

Для ввода формулы массива необходимо выделить диапазон для формулы массива, ввести формулу и нажать:

Ctrl + Ý + ¿ или ¿, а затем F2, Ctrl + Ý + ¿ (Ý - Shift, ¿ - Enter)

Пример. Имеется следующая информация:

Задача: найти стоимость и НДС, используя формулу массива.

Выделить столбец D, ввести =B2:B9*C2:C9, нажать Ctrl + Ý + ¿.Затем выделить столбец E, ввести =D2:D9*B10, нажать Ctrl + Ý + ¿.

Результат:

Замечание: изменениеданных в одной ячейке массива недопустимо.

2.1. Сложение и вычитание матриц.

Для сложения (вычитания) матриц применяют формулу массива.

Выделить область для результата, нажать равно, выделить первую матрицу, нажать + или –, выделить вторую матрицу и нажать Ctrl + Ý + ¿.Пример: вычислить A+B–C

Выделить столбец D, ввести =A14:A17+B14:B17–C14:C17, нажать Ctrl + Ý + ¿.Результат:

2.2. Вычисление обратной матрицы.

Функция МОБРраздела "Математические"

Формат: МОБР(массив)

массив := блок ячеек|массив констант|имя диапазона;

Назначение. Определение обратной матрицы.

Замечание. Функция МОБРвозвращает значение ошибки #ЗНАЧ!, если какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст, а также если. массив имеет неравное число строк и столбцов.

Формулы, которые возвращают массивы, должны быть введены как формулы массива.

Пример. Имеется следующая информация:

Найти обратную матрицу.

Выделить блок ячеек А6:D9 (блок для результата), выполнить f_x → Математические → МОБРи выделить исходную матрицу A1:D4 (Рисунок 0‑1)

Рисунок 0‑1

нажать Ctrl + Ý + ¿.Результат:

2.3. Умножение матриц.

Функция МУМНОЖ раздела "Математические"

Формат: МУМНОЖ (массив1;массив2)

массив := блок ячеек|массив констант|имя диапазона;

Назначение. Определение произведения матриц. Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

Ограничение. Количество столбцов аргумента массив1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив2, и оба массива должны содержать только числа.

Массив a, который является произведением двух массивов b и c определяется следующим образом:

где i - это номер строки, а j - это номер столбца.

Замечание. Если хотя бы одна ячейка в аргументах пуста или содержит текст или если число столбцов в аргументе массив1 отличается от числа строк в аргументе массив2, то функция МУМНОЖ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

Пример.

§ Перемножить исходную и обратную матрицы.

Выделить блок ячеек F6:I4, выполнить f_x → Математические → МУМНОЖ и выделить A1:D4, а затем - A6:D9 (Рисунок 0‑2)

Рисунок 0‑2

нажать Ctrl + Ý + ¿.Результат:

2.4. Вычисление определителя матрицы.

Функция МОПРЕД раздела "Математические"

Формат: МОПРЕД (массив)

массив := блок ячеек|массив констант|имя диапазона.

Назначение. Определение определителя матрицы.

Замечание. Функция МОПРЕД возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!, если какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст, а также если массив имеет неравное число строк и столбцов.

Пример. Имеется следующая информация:

Найти определитель матрицы

Установить курсор в E1 (место для результата), выполнить f_x → Математические → МОПРЕД и выделить матрицу A1:D4 (Рисунок 0‑3)

Рисунок 0‑3

нажать ¿.Результат (в ячейке Е1):

2.5. Транспонирование матрицы.

Функция ТРАНСП раздела "Ссылки и массивы"

Формат: ТРАНСП (массив),

массив := блок ячеек|массив констант|имя диапазона.

Назначение. Определение транспортированной матрицы. Применяется для того, чтобы изменить ориентацию массива с вертикальной на горизонтальную и наоборот.

Если исходный массив вертикальный, то результирующий массив будет горизонтальный, и наоборот. Первая строка горизонтального массива аргумента становится первым столбцом вертикального массива и т.д. Функция ТРАНСП должна быть введена как формула массива в диапазоне, который имеет такое же число строк и столбцов, сколько столбцов и строк имеет массив, заданный в качестве аргумента.

Пример.

Имеется следующая информация:

Найти транспонированную матрицу.

Выделяем диапазон для результата А6:D7, выполняем f_x → Математические → ТРАНСП и вводим аргумент – исходную матрицу A1:B4

нажимаем Ctrl + Ý + ¿.Результат:

3. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы

Пусть имеется система линейных уравнений:

Ее запись в матричном виде: , где

, и

Решение системы уравнений находят путем вычисления обратной матрицы (функция МОБР) и последующего умножения ее на вектор свободных членов (функция МУМНОЖ).

Пример. Решить систему линейных уравнений:

Ввести матрицы A и B:

Найти обратную матрицу и умножить ее на вектор свободных членов B. Результат – столбец X:

Проверка достоверности результата – умножить исходную матрицу A на столбец решений X и получить правые части B.

4. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть имеется система линейных уравнений:

Определяют определитель главной () и дополнительных () матриц, а затем вычисляют значения неизвестных по формуле , где

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Скопировать исходную матрицу 3 раза (так как 3 неизвестных). Найти определители, вычислить значения аргументов (X₁=DX₁/D; X₂=DX₂/D; X₃=DX₃/D). Результат:

Проверить достоверность результата (подставить в систему найденные значения или решить методом обратной матрицы)