Булева алгебра.

Выбор системы счисления.

Функции алгебры логики.

В основе современной цифровой техники лежит двоичная система счисления. Для того, что бы понять причину такого выбора, запишем некоторое целое число Х системе счисления с основанием р:

Х_р = к_nрⁿ + к_n-1р^n-1 к_n-2р^n-2…+ к₀р⁰ (1)

здесь к_i = 0, …, р-1.

Для представления этого числа в электронной форме (форме электрических сигналов) потребуется р электрических сигналов, легко различаемых друг от друга, и столько же электронных устройств, формирующих эти сигналы.

При выборе основания счисления требуется удовлетворить противоречивым условиям. С одной стороны число р следует взять большим, т.к. в этом случае количество слагаемых в (1) будет меньше. Однако в этом случае возрастает количество формирователей сигналов, а различие между соседними уровнями уменьшается, что затрудняет идентификацию сигналов и увеличивает вероятность ошибок. Оптимизация данной задачи при минимальных затратах и максимальной помехозащищенности дает ответ р=2,71. На практике в цифровой технике принята система счисления с основанием 2. Соответственно в (1) к принимает значения либо 0, либо1.

Для описания алгоритмов работы цифровых устройств в середине позапрошлого века Джордж Буль создал специальный математические аппарат. Булева алгебра оперирует двумя понятиями – истина и ложь, что соответствует цифрам в двоичной системе счисления единице и нулю.

Над булевыми переменными возможны различные логические операции и функциональные преобразования.

Среди множества операций, выполняемых над булевыми переменными, основными являются операции логического отрицания, сложения и умножения.

Логическое отрицание или инверсия некоторой логической переменной, например переменной х, это также логическая переменная, принимающая значение обратное значению переменной х, и обозначаемая как х (далее в тексте х). Постулаты операции отрицания:

если х=0, то х=1

и наоборот если х=1, то х=0.

Дизъюнкция (логическое сложение) или функция ИЛИ (OR) - это функция f(x1, x2), которая истинна тогда, когда истинна хотя бы одна из ее переменных. Постулаты операции сложения:

Число аргументов функции ИЛИможет быть и более двух. Их количество ставится перед обозначением функции, например, 3ИЛИ.

Конъюнкция (логическое умножение)или функция И (AND) - это функция f1(x1, x2), которая истинна тогда, когда все ее переменные одновременноистинны. Постулаты операции умножения:

Законы булевой алгебры вытекают из постулатов и отражают связи, существующие между логическими операциями.

Таб.1

№	Алгебраическая запись закона	Название закона
	х1*х2=х2*х1; х1+х2=х2+х1	Переместительный
	х1*(х2*х3)= (х1*х2)*х3 х1+(х2+х3)= (х1+х2)+х3= х1+х2+х3	Сочетательный
	х*х=х; х+х=х	Повторения
	Если х1=х2, то х1= х2	Обращения
	х =х	Двойной инверсии
	х*0=0; х+0=х	Нулевого множества
	х*1=х; х+1=1	Универсального множества
	х*х=0; х+х=1	Дополнительности
	х1*( х2+х3)= х1*х2+ х1*х3 х1+(х2*х3)=( х1+х2)*( х1+х3)	Распределительный
	х1+ х1*х2= х1; х1*( х1+х2)= х1	Поглощения
	(х1+х2)*( х1+х2)= х1; х1*х2+ х1*х2= х1	Склеивания
	х1*х2= х1+х2; х1+х2=х1*х2 х1*х2= х1+х2; х1+х2= х1*х2	Инверсии (правило де Моргана)

При выполнении алгебраических действий следует придерживаться строгого порядка: если в выражении отсутствуют скобки, первыми выполняются операции инверсии, затем конъюнкции и последними – операции дизъюнкции.