Алгоритм УлПир

Пример результата просеивания

Просеивание

Для начала необходимо перестроить исходный массив так, чтобы он превратился в пирамиду, где каждый элемент "опирается" на два меньших. Этот процесс назвали просеиванием, потому что он очень напоминает процесс разделения некоторой смеси (камней, монет, т.п.) на фракции в соответствии с размерам частиц: на нескольких грохотах3) последовательно задерживаются сначала крупные, а затем все более мелкие частицы.

Итак, будем рассматривать наш линейный массив как пирамидальную структуру:

a[1]

a[2] a[3]

a[4] a[5] a[6] a[7]

a[8] a[9] a[10] a[11] a[12]

Видно, что любой элемент a[i] (1<=i<=N div 2) "опирается" на элементы a[2*i] и a[2*i+1]. И в каждой такой тройке максимальный элемент должен находится "сверху". Конечно, исходный массив может и не удовлетворять этому свойству, поэтому его потребуется немного перестроить.

Начнем процесс просеивания "снизу". Половина элементов (с ((N div 2)+1)-го по N-й) являются основанием пирамиды, их просеивать не нужно. А для всех остальных элементов (двигаясь от конца массива к началу) мы будем проверять тройки a[i], a[2*i] и a[2*i+1] и перемещать максимум "наверх" - в элемент a[i].

При этом, если в результате одного перемещения нарушается пирамидальность в другой (ниже лежащей) тройке элементов, там снова необходимо "навести порядок" - и так до самого "низа" пирамиды:

for i:= (N div 2)downto 1 do

begin j:= i;

while j<=(N div 2) do

begin k:= 2*j;

if (k+1<=N) and (a[k]<a[k+1])

then k:= k+1;

if a[k]>a[j]

then begin x:= a[j];

a[j]:= a[k];

a[k]:= x;

j:= k

end

else break

end

end;

Возьмем массив [1,7,5,4,9,8,12,11,2,10,3,6] (N = 12).

Его исходное состояние таково (серым цветом выделено "основание" пирамиды, не требующее просеивания):

7 5

4 9 8 12

11 2 10 3 6

После первых трех просеиваний (a[6], a[5], a[4]) получим такую картину (здесь и далее серым цветом выделяем участников просеивания):

7 5

4 9 8 12

11 2 10 3 6

7 5

11 10 9 8 12

11 2 9 10 3 6

7 5

11 4 10 8 12

4 11 2 9 3 6

Просеивание двух следующих элементов (a[3] и a[2]) тоже не вызовет вопросов - для каждого из них будет достаточно только одного шага:

7 12 5

11 10 8 5 12

4 2 9 3 6

11 7 5

7 11 10 8 12

4 2 9 3 6

А вот для просеивания последнего элемента (a[1]) понадобится целых три шага:

12 1

11 1 12

7 1 10 8 5

4 2 9 3 6

11 8 1

7 10 1 8 5

4 2 9 3 6

11 8

7 10 6 1 5

4 2 9 3 1 6

Итак, мы превратили исходный массив в пирамиду: в любой тройке a[i], a[2*i] и a[2*i+1] максимум находится "сверху".

Для того чтобы отсортировать массив методом Пирамиды, необходимо выполнить такую последовательность действий:

0-й шаг: Превратить исходный массив в пирамиду (с помощью просеивания).

1-й шаг: Для N-1 элементов, начиная с последнего, производить следующие действия:

поменять местами очередной "рабочий" элемент с первым;

просеять (новый) первый элемент, не затрагивая, однако, уже отсортированный хвост последовательности (элементы с i-го по N-й).