Произвольные функции и логические схемы

Законы алгебры логики

АЛ базируется на нескольких аксиомах, из которых выводят основные законы для преобразований с логическими переменными. Каждая аксиома представлена в двух видах, что вытекает из принципа дуальности логических операций, согласно которому операции конъюнкции и дизъюнкции допускают взаимную замену, если одновременно поменять 1 на 0, 0 на 1, знак Ú на ×, а знак × на Ú.

Аксиомы операции отрицания: , .

Аксиомы операций конъюнкции и дизъюнкции:

1а) 0×0=0 1б) 1Ú1=1

2а) 1×0=0×1=0 2б) 0Ú1=1Ú0=1

3а) 1×1=1 3б) 0Ú0=0

Законы АЛ вытекают из аксиом и также имеют две формы выражения а) и б).

1. Переместительный закон

а) a×b=b×a б) aÚb=bÚa

2. Сочетательный закон

а) a(bc)=(ab)c=abc б) aÚ(bÚc)=(aÚb)Úc=aÚbÚc

3. Закон тавтологии

а) a×a=a б) aÚa=a

4. Закон обращения: если a=b, то

5. Закон двойной инверсии: =a

6. Закон нулевого множества

а) a×0=0 б) aÚ0=a

7. Закон универсальногомножества

а) a×1=a б) aÚ1=1

8. Закон дополнительности

а) a×=0 б) aÚ=1

9. Распределительный закон

а) a(bÚc)=ab+aс б) aÚ(bc)=(aÚb)( aÚc)

10. Закон поглощения

а) aÚab=a б) a(aÚb)=a

11. Закон склеивания

а) (aÚb)(aÚ)=a б) a.bÚ a.=a

12. Закон инверсии (закон Де Моргана)

а) б)

или после инвертирования

в) г)

Поскольку значениями логических функций могут быть только 0 или 1, то любые логические функции можно использовать как аргументы других логических функций, т.е. строить из простых функций более сложные. Пусть в таблице 1.2. задана произвольная функция Y трех аргументов, и ее нужно выразить с помощью простых функций НЕ, И, ИЛИ.

Очевидно, что Y = 1, когда или ac = 1 (строка 1), или (строка 3), или (строка 6), или (строка 7).

Таблица 1.2.

Все это можно записать в виде одного общего аналитического выражения: (1.1)

Полученное аналитическое выражение называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ). СДНФ состоит из элементарных конъюнкций, соединенных знаками дизъюнкций. Конъюнкцию называют элементарной, если в нее не входит по несколько одинаковых букв. Число элементарных конъюнкций в СДНФ обязательно равно числу единичных значений функции в таблице истинности. В каждую элементарную конъюнкцию СДНФ входят обязательно все аргументы функции в прямой или инверсной форме.

Поскольку процедуру построения СДНФ в принципе можно применить к таблице, содержащей любое число аргументов при любом расположении единичных значений функции, то можно сделать важный вывод: с помощью набора функций НЕ, И, ИЛИ можно выразить любую логическую функцию. Такой полный набор называют логическим базисом или просто базисом.

Нетрудно показать, что базисами являются также и другие наборы:

НЕ, И; НЕ, ИЛИ; И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

Для построения логической схемы, реализующей функцию, заданную таблицей истинности, обычно удобнее аналитическая форма представления функции. В данном случае - это выражение (1.1). Схема, реализующая (1.1), показана на рис. 1.6. Она состоит из трех ярусов. В первом ярусе расположены инверторы. Очевидно, что максимальное число инверторов не превышает числа аргументов. Во втором ярусе расположены элементы И, реализующие входящие в формулу элементарные конъюнкции. Число входов каждого элемента равно числу аргументов реализуемой функции, а число элементов- числу элементарных конъюнкций в формуле. В третьем ярусе схемы стоит элемент ИЛИ, число входов которого равно числу дизъюнкций в формуле.

Рис.1.6. Логическая схема, реализующая (1.1).