Лекция 7.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

План:

1.Понятие функции двух и нескольких переменных.

2. Предел и непрерывность функции двух переменных

3. Понятие частных производных и дифференциала функции двух переменных.

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и вест понятие функции нескольких переменных.

1.Понятие функции двух и нескольких переменных

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел .

Функцией двух переменных называется зависимость f, при которой каждой паре чисел ставиться в соответствие единственное значение переменной . Записывается в виде . При этом x и y называются независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией); символ f означает закон соответствия.

Например, формула, выражающая объем цилиндра является функцией двух переменных где радиус основания, высота.

Областью определения функции называется множество пар при которых функция определена.

Область определения изображается в виде некоторой области на плоскостиЛиния, ограничивающая данную область, называется границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой и обозначается

Пример. Найти область определения следующих функций:

а) б)

Решение. а) Величина, стоящая под знаком квадратного коня должна быть неотрицательной, т.е. Значит, область определения – замкнутый круг с центром в точке и радиусом График функции изображен на рис. 33 и представляет собой поверхность в пространстве – верхнюю полусферу с центром в начале координат и радиусом 2.

Рис. 33

б)то есть область определения вся координатная плоскость.

Функция двух переменных допускает геометрическое изображение.

Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , аппликата z которых связана с абсциссой x и ординатой y функциональной зависимостью . Совокупность всех таких точек представляет некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Функция двух переменных – это частный случай функции нескольких переменных. Пусть имеется n переменных величин и каждому упорядоченному набору из некоторого множества X соответствует одно определенное значение переменной y, то говорят, что задана функция нескольких переменных

Переменные называются независимыми переменными (аргументами), а зависимой переменной (функцией).