Треугольник Серпинского

Для его построения из центра треугольника мысленно вырежем кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в середины сторон исходного треугольника. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Построение треугольника Серпинского с помощью рекурсии

В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект, известный как решето Серпинского. Этот треугольник один из самых ранних известных примеров фракталов. Существует несколько способов построения этого фрактала. Один из них представляет следующий процесс. Берётся сплошной равносторонний треугольник, на первом шаге из центра удаляется перевёрнутый треугольник. На втором шаге удаляется три перевёрнутых треугольника из трёх оставшихся треугольников. Продолжая этот процесс, на -ом шаге удаляем перевёрнутых треугольников из центров оставшихся треугольников. Конца этому процессу не будет, и в треугольнике не останется живого места, но и на части он не распадётся - получится объект состоящий из одних только дырок. Это и есть треугольник Серпинского. Треугольник Серпинского также называют салфеткой Серпинского.

program FracSierp2;uses CRT, Graph; var gd, gm : Integer; const iter = 5; procedure tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);begin Line(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2)); Line(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3)); Line(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));end; procedure draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);var x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n : Real;begin if n > 0 then begin x1n := (x1 + x2) / 2; y1n := (y1 + y2) / 2; x2n := (x2 + x3) / 2; y2n := (y2 + y3) / 2; x3n := (x3 + x1) / 2; y3n := (y3 + y1) / 2; tr(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n); draw(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1); draw(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1); draw(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1); end;end; begin gd := Detect; InitGraph(gd, gm, ''); tr(320,10,600,470,40,470); draw(320,10,600,470,40,470,iter);{} ReadKey; CloseGraph;end.

IFS-алгоритм построения

Треугольник Серпинского также легко можно построить с помощью трех IFS-преобразований. Эти преобразования имеют вид:

Программа для построения треугольника Серпинского этим методом на языке Pascal приведена ниже.

program FracSierp;uses CRT, Graph;var gd, gm : Integer;procedure draw;const iter = 50000;var t, x, y, p : Real; k : LongInt; mx, my, rad : Integer;begin mx := 320; my := 479; rad := my; Randomize; x := 0.0; y := 0.0; for k := 1 to iter do begin p := Random; t := x; if p >= 1/3 then begin x := 0.50 * x + 0.00 * y + 0.0; y := 0.00 * t + 0.50 * y + 0.5; end else if p >= 2/3 then begin x := 0.50 * x + 0.00 * y - 0.25; y := 0.00 * t + 0.50 * y + 0.0; end else begin x := 0.50 * x + 0.00 * y + 0.25; y := 0.00 * t + 0.50 * y + 0.0; end; PutPixel(mx + Round(rad * x), my - Round(rad * y), 2); end;end; begin gd := Detect; InitGraph(gd,gm,''); draw; ReadKey; CloseGraph;end.

program Sierp10;uses CRT, Graph;var gd, gm: Integer; l, x, y: Real;begin gd:=Detect; InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi'); x:=0; y:=0; Randomize; while not Keypressed do begin l := 2/3*pi*random(3); x := x/2+cos(l); y := y/2+sin(l); PutPixel(320 + Round(x*130), 240 + Round(y*130), 14); end; Readkey; CloseGraph;end.