Геометрические фракталы

Понятие размерности и ее расчет

Линия имеет размерность, равную 1. Это означает, что, выбрав точку отсчета, мы можем любую точку на этой линии определить с помощью 1 числа - положительного или отрицательного. Причем это касается всех линий (окружность, квадрат, парабола и т.д.)

Размерность 2 означает, что любую точку мы можем однозначно определить двумя числами. Не надо думать, что двумерный – значит плоский. Поверхность сферы тоже двумерна (ее можно определить с помощью двух значений – углов наподобие ширины и долготы).

Если смотреть с математической точки зрения, то размерность определяется следующим образом:

для одномерных объектов – увеличение в два раза их линейного размера приводит к увеличению размеров (в данном случае длинны) в два раза (2¹).

Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (например, площади прямоугольника) в четырераза (2²).

Для 3–х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводи к увеличению объема в восемь раз (2³) и так далее.

Таким образом, размерность D можно рассчитать исходя из зависимости увеличения «размера» объекта S от увеличения линейных размеров L:

D = log(S)/log(L).

Для линии D=log(2)/log(2)=1.

Для плоскости D=log(4)/log(2)=2.

Для объема D=log(8)/log(2)=3.

Пример 1. Рассчитаем размерность для кривой Пеано. Исходная линия, состоящая из трех отрезков длины Х, заменяется на 9 отрезков втрое меньшей длины. Таким образом, при увеличении минимального отрезка в 3 раза длина всей линии увеличивается в 9 раз, и D = log(9)/log(3) = 2 – двумерный объект.

Пример 2. Рассчитаем размерность для кривой Коха. Исходная линия заменяется на 4 отрезка втрое меньшей длины. Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на 1/3, а при увеличении снежинки в 3 раза ее длина возрастает в 4 раза, и D=log(4)/log(3) = 1.2619.

Задание. Рассчитать фрактальную размерность множества Кантора.

Когда размерность фигуры получаемой из каких–то простейших объектов (отрезков) больше размерности этих объектов – мы имеем дело с фракталом.

Классификация фракталов:

- геометрические фракталы;

- алгебраические фракталы;

- системы итерируемых функций;

- стохастические фракталы.

Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений по рассмотренному выше рекурсивному алгоритму (кривая Пеано, кривая Коха, треугольник и ковер Серпинского и т.д.).