Лекция 5. Предел функции.

Рассмотрим функцию и точку такую, что . В частности, точка может быть внутренней точкой для E : .

ОПР.(КОШИ) Число А называется пределом функции в точке , обозначение , если .

ОПР.(ГЕЙНЕ) Число А называется пределом функции в точке , обозначение , если

Множество V на числовой оси называется открытым, если . Любое открытое множество V(a), содержащее точку a , называют окрестностью точки a .

ОПР.(ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ) Число А называется пределом функции в точке , обозначение , если

.

ТЕОРЕМА 1 Определения по Гейне и по Коши предела функции в точке эквивалентны, т.е. если число А является пределом функции по Коши, то оно же является пределом по Гейне и

наоборот.

ДОК. (1) Пусть по Коши : .

Пусть произвольная последовательность, для которой .Тогда , т.е..

(2) Пусть по Гейне.

Предположим, что число А не является пределом функции по Коши. Тогда .

Построенная последовательность сходящаяся и . Тогда . Полученное противоречие доказывает, что число А является пределом функции по Коши.

ОПР. Функция называется ограниченной в окрестности , если существует число М, для которого

.

ТЕОРЕМА 2. Если функция имеет предел в точке, то она ограничена в окрестности этой точке.

ДОК. Из определения предела, следует для существует такая, что

.

ТЕОРЕМА 3.(о единственности предела)

Если функция имеет предел в точке , то он только один.

ДОК. Предположим противное: Числа А и В являются пределами функции, причем . Выберем , тогда существует окрестность , для которой

.

Тогда , что противоречит выбору числа .

ТЕОРЕМА 4. (о переходе к пределу в неравенстве)

Пусть функции и имеют пределы

А и В в точке и , для всех .

Тогда .

ДОК. Предположим противное: . Выберем . Тогда существует окрестность , для которой

,

что противоречит условию теоремы.

ТЕОРЕМА 5 (о знаке функции в окрестности точки)

Если , то существует для которой

.

ДОК. Выберем любое . Тогда по определению предела, найдется , для которой .

ТЕОРЕМА 6. (о промежуточной функции)

Пусть для трех функций, определенных в , справедливо неравенство: 1)и 2). Тогда .

ДОК.

т.е. .

ОПР. Функция , определенная в окрестности , удовлетворяет критерию Коши , если .

ТЕОРЕМА 7 . Для того, чтобы функция , определенная в окрестности , имела предел в точке a , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши в окрестности точки a .

ДОК. (1) Пусть . Тогда

и

(2) Пусть функция удовлетворяет критерию Коши и - произвольная последовательность, , для которой . Тогда

и последовательность - фундаментальная. По доказанному, ( для последовательностей) существует число А, для которого . Пусть другая последовательность, для которой .Тогда последовательностьтакже фундаментальная и поэтому сходящаяся. Пусть .

Если , то последовательность также сходящаяся : , но последовательность не может быть сходящейся ( у нее по крайней мере два частичных предела А и В), хотя она фундаментальна. Источником полученного противоречия явилось предположение о том, что , поэтому А=В и функция имеет предел по Гейне, равный А.

ОПР. Функцияназывается бесконечно малой функцией в точке a , если .

ОПР. Функцияназывается бесконечно большой функцией в точке a , если

.

ТЕОРЕМА 8. (о связи функции, имеющей предел, и бесконечно малой функцией)

Для того, чтобы функция имела предел в точке a равный А, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление : , где - бесконечно малая функция в точке a .

ДОК. (1) Если , то функция б.м.ф. Действительно,

(2) .

ТЕОРЕМА 9. (о связи между бесконечно большой и малой функциями)

Если бесконечно большая функция в точке a , то функция - бесконечно малая в этой точке. Если функция - бесконечно малая функция в точке a и то функция - бесконечно большая в этой точке.

ДОК. (1)

(2) .

ТЕОРЕМА 10 (арифметические теорема о бесконечно малых)

Если и - бесконечно малые функции в точке a , то +- также б.м. Если - ограниченная в окрестности точки a функция, то - б.м.ф.

ДОК. (самостоятельно)

ТЕОРЕМА 11. (арифметическая теорема о пределах)

Если , , то

(1)

(2) (3) .

ДОК. (2) По теореме о связи , , где функции и - бесконечно малые функции. Тогда

,

где бесконечно малая функция (теоремы 1 и теорема 10).

(1) и (3) самостоятельно или со ссылкой на соответствующую теорему для последовательностей.

УПРАЖНЕНИЯ. 1) Верно ли утверждение : произведение б.м.ф. на б.б.ф. есть ограниченная функция? 2) Может ли функция в одной точке быть б.м., а в другой – б.б.ф? 3) Всегда ли сумма двух бесконечно больших функций является бесконечно большой функцией?

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1) Определение предела функции по КОШИ и ГЕЙНЕ и их эквивалентность.

2) Ограниченность функции в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

3) Теорема об единственности предела функции.

4) Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

5) Теорема о промежуточной функции.

6) Критерий Коши для функции в окрестности точки. Теорема об эквивалентности критерия существованию предела у функции .

7) Бесконечно малые функции, теорема о связи функций, имеющих предел, и бесконечно малых функций.

8) Бесконечно большие функции, теорема об их связи с бесконечно малыми функциями.

9) Арифметическая теорема о пределах функций.