Численное интегрирование методом прямоугольников

Численное интегрирование

End;

End;

Begin

Begin

End;

End;

Begin

Begin

Begin

Program gauss;

const n = 3;

var A:array[1..n,1..n]of real;

x,b:array[1..n] of real;

i,j,n,p,ii,jj:integer; aii,akk:real;

{ввод исходных данных}

writeln('введите матрицу коэффициентов');

for j:=1 to n do

writeln('уравнение №', j)

for i:=1 to n do

writeln(' a', i, ', ', j, ' =') ;

read(a[i,j]);

writeln('свободный коэффициент');

read(b[j]);

{прямой ход метода}

for i:=1 to n do {цикл отсчитывает шаги прямого хода метода}

aii:=a[i,i]; {сохранения значения ведущего элемента}

{преобразование ведущей строки}

for j:=i to n do

a[j,i]:=a[j,i]/aii;

b[i]:=b[i]/aii;

{преобразование строк, под ведущей}

for p:=i+1 to n do

akk:=a[i,p];

for j:=1 to n do

a[j,p]:= a[j,p]-a[j,i]*akk;

b[p]:=b[p]-b[i]*akk;

Следует обратить внимание на то, что данная программа, как в прочем и любые другие программы, состоит из отдельных частей. Каждая из этих частей выполняет определённую задачу, поэтому каждая из них может рассматриваться как отдельная программа. Такой подход упрощает разработку и отладку программы.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значений определенного интеграла, когда известен ряд значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного – механической кубатурой. Соответствующие формулы называются квадратурными и кубатурными.

Обычный прием механической квадратуры заключается в том, что данную функцию f(x)на рассматриваемом отрезке [a, b] заменяют интерполирующей или другой аппроксимирующей функцией φ(x) простого вида (например, полиномом), а затем приближенно полагают

.

Функция φ(x) такова, что интеграл от неё вычисляется напрямую с помощью формулы.

Простейшим методом численного интегрирования является метод пря­мо­угольников, ко­то­рый в ря­де случаев оказывается на­иболее эф­фек­­­тив­­ным.

Известны три раз­но­вид­­ности метода пря­мо­у­голь­­ни­ков: это методы левых, правых и средних пря­­­мо­у­гольников. Все они основаны на ап­про­к­си­ма­­­ции подынтегральной функции f(x) прямой, проходящей через точку f(х_i), f(х_i+1) или f(х_i+D/2) соответственно.

Таким образом, площадь подынтегральной кривой заменяется площадью прямоугольника:

левого прямоугольника:

;

правого прямоугольника:

;

среднего прямоугольника:

.

С учетом представления на элементарном от­­рез­ке со­став­ные формулы вычисления интегралов мо­гут быть записаны так:

левых прямоугольников:

;

правых прямоугольников:

;

средних прямоугольников:

.

Рисунок 30 – Геометрическая интерпретация численного интегрирования методом центральных прямоугольников

Приведём программу, реализующую вычисление определённого интеграла методом центральных прямоугольников с заданным количеством разбиений. В качестве подынтегральной будем использовать функцию:

^.