Решение задачи регрессионного анализа

1) Пусть в результате проведения экспериментальных измерений мы получили набор из n = 8 экспериментальных точек. Отобразим их на рис. П-01.2.

Рис. П-01.2. График экспериментальных данных

Занесем полученные данные в табл. П-01.1.

Таблица П-01.1. Экспериментальные данные

i	X_i	Y_i

2) Рассматривая экспериментальные данные, предположим, что они подчиняются линейному закону; выдвигаем гипотезу: Y = aX + b.

3) Запишем уравнение ошибки и суммарной ошибки:

E_i = (Y_i^Эксп^. – Y_i^Теор^.), i = 1, …, n;

E_i = Y_i – b – aX_i, i = 1, …, n.

4) Для нахождения экстремума приравняем частные производные функции F по переменным b и a к нулю (условие экстремума):

После раскрытия скобок получим систему из двух линейных уравнений:

Для удобства вычислений составим табл. П-01.2.

Таблица П-01.2. Таблица промежуточных вычислений

i	X_i	Y_i	X_i²	X_iY_i








Сумма:

Для нахождения коэффициентов b и a методом Крамера представим систему в матричной форме:

Подставляя конкретные значения из табл. П-01.2, получим:

Находим значения b и a:

Итак, найденные значения b = 4960/1359 = 3.65 и a = 1055/1359 = 0.78 обеспечивают прохождение графика Y = aX + b как можно ближе одновременно ко всем экспериментальным точкам.

Таким образом, мы получили следующее линейное уравнение: Y = 0.78X + 3.65.

5) Теперь необходимо проверить, имеем ли мы право принять полученную гипотезу Y = 0.78X + 3.65 как верную, или же она должна быть отклонена. Для этого необходимо рассчитать ошибку E_i между точками заданной экспериментальной и полученной теоретической зависимости (см. табл. П-01.3), суммарную ошибку F и значение σ по формулам:

E_i = Y_i – b – aX_i, i = 1, …, n

Таблица П-01.3. Вычисление ошибок между точками заданной экспериментальной и полученной теоретической зависимости

i	X_i	Y_i	E_i = Y_i – 3.65 – 0.78X_i	E_i²
			–0.65	0.4225
			0.79	0.6241
			–0.77	0.5929
			0.11	0.0121
			2.33	5.4289
			–1.45	2.1025
			–0.01	0.0001
			–0.57	0.3249

Суммарная ошибка составляет:

F = 0.4225 + 0.6241 + 0.5929 + 0.0121 + 5.4289 + 2.1025 + 0.0001 + 0.3249 = 9.5080.

Значение σ = sqrt(9.5080/8) = 1.09. Найдем значение S = σ/cos(arctg(a)) = 1.09/cos(arctg(0.78)) = 1.38.

Если в полосу, ограниченную линиями Y = 0.78X + 3.65 – 1.38 и Y = 0.78X + 3.65 + 1.38 попадет 68.26% или более из всех экспериментальных точек, то можно сделать вывод о том, что наша гипотеза о линейности верна.

Окончательные рассчеты (см. табл. П-01.4) показывают, что 6 точек из 8 (то есть 75%) попадают в полосу, ограниченную линиями Y = 0.78X + 3.65 – 1.38 и Y = 0.78X + 3.65 + 1.38, из чего заключаем: зависимость между входом и выходом модели линейная, то есть выдвинутая нами гипотеза верна.

Таблица П-01.4. Проверка попадания точек внутрь заданного интервала

i	X_i	Y_i	Y = 0.78X_i + 3.65 – 1.38	Y = 0.78X_i + 3.65 + 1.38	Есть попадание?
			2.27	5.03	Да
			3.83	6.59	Да
			5.39	8.15	Да
			8.51	11.27	Да
			9.29	12.05	Нет
			10.07	12.83	Нет
			11.63	14.39	Да
			13.19	15.95	Да

Наконец, дадим графическую иллюстрацию нашим расчетам (рис. П-01.3).

Рис. П-01.3. Найденная линейная зависимость с обозначенным интервалом [–S; +S]

В заключение отметим, что разобранный выше пример — учебный. Поэтому мы ограничились очень небольшим числом экспериментальных точек. В реальных условиях для обеспечения достоверности результатов исследования нужно брать гораздо большее число экспериментальных точек.

Обратно к лекции 02