1) Пусть в результате проведения экспериментальных измерений мы получили набор из n = 8 экспериментальных точек. Отобразим их на рис. П-01.2.
Рис. П-01.2. График экспериментальных данных
Занесем полученные данные в табл. П-01.1.
Таблица П-01.1. Экспериментальные данные
i
Xi
Yi
2) Рассматривая экспериментальные данные, предположим, что они подчиняются линейному закону; выдвигаем гипотезу: Y = aX + b.
3) Запишем уравнение ошибки и суммарной ошибки:
Ei = (YiЭксп. – YiТеор.), i = 1, …, n;
Ei = Yi – b – aXi, i = 1, …, n.
4) Для нахождения экстремума приравняем частные производные функции F по переменным b и a к нулю (условие экстремума):
После раскрытия скобок получим систему из двух линейных уравнений:
Для удобства вычислений составим табл. П-01.2.
Таблица П-01.2. Таблица промежуточных вычислений
i
Xi
Yi
Xi2
XiYi
Сумма:
Для нахождения коэффициентов b и a методом Крамера представим систему в матричной форме:
Подставляя конкретные значения из табл. П-01.2, получим:
Находим значения b и a:
Итак, найденные значения b = 4960/1359 = 3.65 и a = 1055/1359 = 0.78 обеспечивают прохождение графика Y = aX + b как можно ближе одновременно ко всем экспериментальным точкам.
Таким образом, мы получили следующее линейное уравнение: Y = 0.78X + 3.65.
5) Теперь необходимо проверить, имеем ли мы право принять полученную гипотезу Y = 0.78X + 3.65 как верную, или же она должна быть отклонена. Для этого необходимо рассчитать ошибку Ei между точками заданной экспериментальной и полученной теоретической зависимости (см. табл. П-01.3), суммарную ошибку F и значение σ по формулам:
Ei = Yi – b – aXi, i = 1, …, n
Таблица П-01.3. Вычисление ошибок между точками заданной экспериментальной и полученной теоретической зависимости
Значение σ = sqrt(9.5080/8) = 1.09. Найдем значение S = σ/cos(arctg(a)) = 1.09/cos(arctg(0.78)) = 1.38.
Если в полосу, ограниченную линиями Y = 0.78X + 3.65 – 1.38 и Y = 0.78X + 3.65 + 1.38 попадет 68.26% или более из всех экспериментальных точек, то можно сделать вывод о том, что наша гипотеза о линейности верна.
Окончательные рассчеты (см. табл. П-01.4) показывают, что 6 точек из 8 (то есть 75%) попадают в полосу, ограниченную линиями Y = 0.78X + 3.65 – 1.38 и Y = 0.78X + 3.65 + 1.38, из чего заключаем: зависимость между входом и выходом модели линейная, то есть выдвинутая нами гипотеза верна.
Наконец, дадим графическую иллюстрацию нашим расчетам (рис. П-01.3).
Рис. П-01.3. Найденная линейная зависимость с обозначенным интервалом [–S; +S]
В заключение отметим, что разобранный выше пример — учебный. Поэтому мы ограничились очень небольшим числом экспериментальных точек. В реальных условиях для обеспечения достоверности результатов исследования нужно брать гораздо большее число экспериментальных точек.