Метод генерации нормально распределенных чисел, использующий центральную предельную теорему

Табличный метод генерации нормально распределенных чисел

Для этого нормальное число можно взять из справочника в таблице функции Лапласа и получить случайное число по методу взятия обратной функции (см. лекцию 24): x = F^–1(r), где F — интегральная функция Лапласа.

Технически это означает, что надо разыграть случайное равномерно распределенное число r из интервала [0; 1] стандартным ГСЧ (см. таблицу абсолютно случайных проверенных чисел), найти равное ему число в таблице значений функции Лапласа в столбце F и по строке определить случайную величину x, соответствующую этому числу.

Недостатком метода является необходимость хранения в памяти компьютера всей таблицы чисел функции Лапласа.

Общая идея метода следующая: требуется сложить случайные числа с любым законом распределения, нормализовать их и перевести в нужный диапазон нормального распределения.

Допустим, что нам надо в целях имитации получить ряд случайных чисел x, распределенных по нормальному закону с заданными математическим ожиданием m_x и среднеквадратичным отклонением σ_x.

1. Сложим n случайных чисел, используя стандартный ГСЧ:

Согласно ЦПТ числа V образуют ряд значений, распределенный по нормальному закону. Эти числа тем лучше описывают нормальный закон, чем больше параметр n. На практике n берут равными 6 или 12. Заметим, что закон распределения чисел V имеет математическое ожидание m_V = n/2, σ_V = sqrt(n/12). Поэтому он является смещенным относительно заданного произвольного.

1. С помощью формулы z = (V – m_V)/σ_V нормализуем этот ряд. Получим нормализованный закон нормального распределения чисел Z. То есть m_z = 0, σ_z = 1.
2. Формулой (сдвиг на m_x и масштабирование на σ_x) преобразуем ряд Z в ряд x: x = z · σ_x + m_x.

Пример. Смоделировать поток заготовок для обработки их на станке. Известно, что длина заготовки колеблется случайным образом. Средняя длина заготовки составляет 35 см, а среднеквадратичное отклонение реальной длины от средней составляет 10 см. То есть по условиям задачи m_x = 35, σ_x = 10. Тогда значение случайной величины будет рассчитываться по формуле: V = r₁ + r₂ + r₃ + r₄ + r₅ + r₆, где r — случайные числа из ГСЧ_рр [0; 1], n = 6.
X = σ_x · (sqrt(12/n) · (V – n/2)) + m_x = 10 · sqrt(2) · (V – 3) + 35
или
X = 10 · sqrt(2) · ((r₁ + r₂ + r₃ + r₄ + r₅ + r₆) – 3) + 35.