Линейная множественная модель

Проверка

Чтобы определить, принимается гипотеза или нет, нужно, во-первых, рассчитать ошибку между точками заданной экспериментальной и полученной теоретической зависимости и суммарную ошибку:

E_i = (Y_i^Эксп. – Y_i^Теор.), i = 1, …, n

И, во-вторых, необходимо найти значение σ по формуле , где F — суммарная ошибка, n — общее число экспериментальных точек.

Если в полосу, ограниченную линиями Y^Теор. – S и Y^Теор. + S (рис. 2.5), попадает 68.26% и более экспериментальных точек Y_i^Эксп., то выдвинутая нами гипотеза принимается. В противном случае выбирают более сложную гипотезу или проверяют исходные данные. Если требуется большая уверенность в результате, то используют дополнительное условие: в полосу, ограниченную линиями Y^Теор. – 2S и Y^Теор. + 2S, должны попасть 95.44% и более экспериментальных точек Y_i^Эксп..

Рис. 2.5. Исследование допустимости принятия гипотезы

Расстояние S связано с σ следующим соотношением:

S = σ/sin(β) = σ/sin(90° – arctg(A₁)) = σ/cos(arctg(A₁)),

что проиллюстрировано на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Связь значений σ и S

Условие принятия гипотезы выведено из нормального закона распределения случайных ошибок (см. рис. 2.7). P — вероятность распределения нормальной ошибки.

Рис. 2.7. Иллюстрация закона нормального распределения ошибок

Наконец, приведем на рис. 2.8 графическую схему реализации одномерной линейной регрессионной модели.

Рис. 2.8. Схема реализации метода наименьших квадратов в среде моделирования

Практика № 01: «Регрессионные модели»

Лабораторная работа № 01: «Линейные регрессионные модели»

Предположим, что функциональная структура ящика снова имеет линейную зависимость, но количество входных сигналов, действующих одновременно на объект, равно m (см. рис. 2.9):

Y = A₀ + A₁ · X₁ + … + A_m · X_m.

Рис. 2.9. Обозначение многомерного черного ящика на схемах

Так как подразумевается, что мы имеем экспериментальные данные о всех входах и выходах черного ящика, то можно вычислить ошибку между экспериментальным (Y_i^Эксп.) и теоретическим (Y_i^Теор.) значением Y для каждой i-ой точки (пусть, как и прежде, число экспериментальных точек равно n):

E_i = (Y_i^Эксп. – Y_i^Теор.), i = 1, …, n;

E_i = Y_i – A₀ – A₁ · X_1i – … – A_m · X_mi, i = 1, …, n.

Минимизируем суммарную ошибку F:

Ошибка F зависит от выбора параметров A₀, A₁, …, A_m. Для нахождения экстремума приравняем все частные производные F по неизвестным A₀, A₁, …, A_m к нулю:

Получим систему из m + 1 уравнения с m + 1 неизвестными, которую следует решить, чтобы определить коэффициенты линейной множественной модели A₀, A₁, …, A_m. Для нахождения коэффициентов методом Крамера представим систему в матричном виде:

Вычисляем коэффициенты A₀, A₁, …, A_m.

Далее, по аналогии с одномерной моделью (см. 3). «Проверка»), для каждой точки вычисляется ошибка E_i; затем находится суммарная ошибка F и значения σ и S с целью определить, принимается ли выдвинутая гипотеза о линейности многомерного черного ящика или нет.

При помощи подстановок и переобозначений к линейной множественной модели приводятся многие нелинейные модели. Подробно об этом рассказывается в материале следующей лекции.

Лекция 03.
Нелинейные регрессионные модели