Информация

Чтобы рассматривать понятие информации с точки зрения математики, нам нуж­на определенная величина, годящаяся для измерения количества информации. Впервые эту проблему сформулировал и решил Хартли (Hartley) в 1928 г., изучая телеграфную связь. Хартли заметил, что если вероятность того, что некоторое со­бытие произойдет, высока (близка к 1), неуверенность в том, что это событие про­изойдет, невелика. Если впоследствии мы узнаем, что это событие произошло, то количество полученной нами информации будет невелико. Таким образом, вну­шающей доверие мерой информации может служить величина, обратная вероят­ности некоего события, — 1/р. Например, если происходит событие, вероятность которого равна 0,25, то мы получаем больше информации, чем если произойдет событие, вероятность которого равна 0,5. Если мера информации равна 1/р, тогда первое событие обладает информацией 4 (1/0,25), а количество информации о вто­ром событии равно 2 (1/0,5). Но в использованиии этой меры количества инфор­мации есть трудности:

· Эта единица измерения, кажется, «не работает» с последовательностями событий. Рассмотрим двоичный источник, генерирующий поток из единиц и нулей с равной вероятностью значения каждого бита. Таким образом, каж­дый бит несет количество информации, равное 2 (1/0,5). Но если бит b₁ не­сет в себе 2 единицы информации, то сколько информации содержится в строке из двух битов b₁ b₂? Эта строка может содержать одну из четырех воз­можных комбинаций битов, причем каждое из четырех значений строка может принимать с вероятностью 0,25. Таким образом, при использовании в качестве меры количества информации величину 1/р два бита будут со­держать четыре единицы информации. Продолжая данные рассуждения, количество информации, содержащееся в трех битах (b₁,b₂,b₃), равно восьми. Это означает, что первые два бита, b₁ и b₂, несут по две единицы информации, а третий бит (b₃) добавляет сразу четыре единицы информации. Следующий бит (b₄) добавит к последовательности уже восемь единиц информации и т. д. Это не кажется разумным.

Рассмотрим событие, приводящее к изменению двух или более независимых переменных. Примером такого события может быть сигнал, кодируемый при помощи так называемого метода фазовой манипуляции, для которого ис­пользуется четыре возможных фазы и две амплитуды. Один элемент такого сигнала содержит две единицы информации для амплитуды и четыре для фазы, итого шесть единиц. В то же время, каждый элемент сигнала может иметь восемь возможных значений, и поэтому должен соответствовать вось­ми единицам информации, если пользоваться принятой нами мерой. Хартли разрешил данную проблему, прологарифмировав данную величину, то есть он предложил в качестве меры количества информации события х функцию log( 1/Р(х)), где Р(х) означает вероятность события х. Формально можно написать:

I(x) = log (1/Р(х)) = - log P(x)