Свободные незатухающие колебания.

Если активным сопротивлением контура можно пренебречь по сравнению с индуктивным (при резонансной частоте), то колебания будут свободными незатухающими (). Напишем для цепи закон Ома: . В нашем случае ; , , . Получаем, что изменение электрического заряда на обкладках конденсатора со временем описывается дифференциальным уравнением: . Решение дифференциального уравнения при (и, следовательно ): . Сила тока – производная от заряда по времени. Дифференцируя обе части по времени, получим для силы тока в контуре уравнение или . Величина является амплитудным, т.е. максимальным, значением тока в контуре. . Напряжение отличается от заряда множителем : или . Сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на . Отсюда .

При свободных незатухающих электромагнитных колебаниях в контуре происходит периодический переход энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля электрического тока. В моменты времени и т.д. энергия электрического поля максимальна и равна , а энергия магнитного поля равна нулю. В моменты времени и т.д. энергия магнитного поля максимальна и равна , а энергия электрического поля равна нулю. Из условия следует: . Величина наз. волновым сопротивлением контура.В процессе незатухающих колебаний полная электромагнитная энергия контура, равная сумме энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки остается постоянной.

Период свободных незатухающих колебаний определяется формулой Томсона (собственные колебания контура): . Частота электромагнитных колебаний контура .

Задача 1. Частота колебательного контура изменяется в диапазоне . Емкость конденсатора . Найти индуктивность катушки контура.

Из выражения находим . Подставляя данные задачи, имеем , .

,

Ответ:

Задача 2. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью и конденсатора с емкостью . Определить максимальную силу тока в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора . Сопротивлением контура пренебречь.

Дано: Решение:

Ответ:

Свободные затухающие колебания.

Если сопротивление контура , то колебания будут затухающими (амплитуда колебаний уменьшается со временем из-за потерь энергии на нагревание проводов контура). . При этом разность потенциалов на обкладках конденсатора меняется со временем по закону , если время отсчитывать от момента, соответствующего наибольшей разности потенциалов на обкладках конденсатора. Амплитуда затухающих колебаний равна , где начальная амплитуда. Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в раз, наз. временем релаксации.График функции для - на рис. Графики для напряжения и силы токаимеют аналогичный вид.

Если в начальный момент времени заряд на обкладках конденсатора равен и ток в цепи отсутствует, то . Начальная фаза колебаний . Разность потенциалов на обкладках конденсатора . Сила тока в колебательном контуре . Введя угол , определяемый условиями , , получим. Т.к. и , то

Период собственных электромагнитных колебаний контура, состоящего из катушки с индуктивностью и конденсатора с емкостью : . Частота колебаний , период и круговая частота переменного тока связаны соотношениями: ; .

С увеличением сопротивления контура возрастает и при обращается в бесконечность. Для таких колебаний ; ; , где циклическая частота свободных незатухающих электромагнитных колебаний в контуре. Сила тока отстает по фазе от разности потенциалов между обкладками на . Амплитуда силы тока и амплитуда разности потенциалов: , .

При изменение заряда на обкладках не носит колебательного характера и разряд конденсатора называется апериодическим. Решение дифференциального уравнения в этом случае имеет вид: , где заряд при . Решение показывает, что заряд экспоненциально убывает со временем.

Задача 3. Добротность колебательного контура . Определить, на сколько процентов отличается частота свободных колебаний контура от его собственной частоты.

Дано: Решение:

, где . Отсюда найдем и . или 0,5%

Ответ: 0,5%

Задача 4. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью и конденсатора с емкостью и сопротивления . Во сколько раз уменьшится разность потенциалов на обкладках конденсатора за один период колебаний?.

Дано: Решение:

коэффициент затухания, получаем

Ответ: 1,02