Вычисление первой производной

Вычисление производных

Лекция 5

Вычисление интегралов

Приближенное вычисление определенных интегралов базируется на простой, хорошо известной аналогии: геометрический смысл определенного интеграла функции есть площадь фигуры, ограниченной графиком этой функции и осью ординат. Это означает, что можно записать

(3)

после чего остается только выбрать способ вычисления соответствующей суммы. Существуют три простейших варианта записи этой суммы, наглядный смысл которых ясен из их названия:

· формула левых прямоугольников -

· формула правых прямоугольников -

· формула трапеций -

Вычислим интеграл тремя этими способами:

Рис. 2

Видно, что точность вычислений выше для формулы трапеций. И действительно, эта формула имеет второй порядок точности, в то время как две оставшиеся – первый.

Во многих случаях вычисление производных аналитически затруднительно или вовсе невозможно (если функция задана таблично). Тогда производная вычисляется приближенно или, как говорят, численно. В основе численного вычисления производных лежит разложение функции в ряд и ограничение этого ряда несколькими членами. В самом деле, если отрезок оси x, на котором задана наша функция, разбить на множество равноотстоящих точек {x_i}, то для каждой точки x_i можно записать разложение в ряд (здесь используются обозначения , f(x_i) = f_i, f(x_i+1) = f_i+1, f(x_i-1) = f_i-1):

Если мы вычтем из первого уравнения второе, то получим

откуда получаем

(1)

Эта формула называется формулой центральных разностей, поскольку вычисляет значение производной в центральной точке, используя значения функции в соседних точках, и позволяет вычислить значение производных с высокой степенью точности (порядка h²).

На Рис. 1 приведен пример вычисления производной функции f(x) = 1/(1 + x). Из приведенной таблицы видно, что погрешность численного метода весьма невелика даже при достаточно грубом выбранном нами шаге и падает с ростом x. Последнее обстоятельство вызвано тем, что погрешность, как следует из приведенных выше формул, пропорциональна третьей производной, а она для данной функции падает с ростом x.