Вычисление первой производной

Вычисление производных

Лекция 4

Накопители на сменных дисках

Накопители на магнитной ленте (стримеры) и

Накопитель на магнитооптических компакт - дисках CD - MO.

Диски CD - MO, как и CD - RW, можно многократно использовать для записи данных. Емкость данных дисков составляет от 128 Мб до 2,6 Гб.

Накопитель DVD (Digital Video Disk)

Устройство для чтения цифровых видеозаписей. Внешне DVD-диск похож на обычный CD- ROM (диаметр - 120 мм, толщина 1,2 мм), однако отличается от него тем, что на одной стороне DVD-диска может быть записано до 4,7 Гбайт, а на двух - до 9,4 Гбайт. В случае использования двухслойной схемы записи на одной стороне можно разместить уже до 8,5 Гбайт информации, соответственно на двух сторонах - около 17 Гбайт. DVD-диски допускают перезапись информации.

Важнейшим фактором, сдерживающим широкое применение накопителей CD-R, CD-RW и DVD, является высокая стоимость, как их самих, так и сменных носителей.

Стример - устройство для резервного копирования больших объемов информации. В качестве носителя применяются кассеты с магнитной лентой емкостью 1-2 Гб и больше. Стримеры позволяют записать на небольшую кассету с магнитной лентой огромное количество информации. Встроенные в стример средства аппаратного сжатия позволяют автоматически уплотнять информацию перед ее записью и восстанавливать после считывания, что увеличивает объем сохраняемой информации. Недостаток - низкая скорость записи, поиска и считывания информации.

В последнее время широко используются накопители на сменных дисках, которые позволяют не только увеличивать объем хранимой информации, но и переносить информацию между ПК. Объем сменных дисков достигает десятков Гб.

Во многих случаях вычисление производных аналитически затруднительно или вовсе невозможно (если функция задана таблично). Тогда производная вычисляется приближенно или, как говорят, численно. В основе численного вычисления производных лежит разложение функции в ряд и ограничение этого ряда несколькими членами. В самом деле, если отрезок оси x, на котором задана наша функция, разбить на множество равноотстоящих точек {x_i}, то для каждой точки x_i можно записать разложение в ряд (здесь используются обозначения , f(x_i) = f_i, f(x_i₊₁) = f_i₊₁, f(x_i_-₁) = f_i_-₁):

Если мы вычтем из первого уравнения второе, то получим

откуда получаем

(1)

Эта формула называется формулой центральных разностей, поскольку вычисляет значение производной в центральной точке, используя значения функции в соседних точках, и позволяет вычислить значение производных с высокой степенью точности (порядка h²).

На Рис. 1 приведен пример вычисления производной функции f(x) = 1/(1 + x). Из приведенной таблицы видно, что погрешность численного метода весьма невелика даже при достаточно грубом выбранном нами шаге и падает с ростом x. Последнее обстоятельство вызвано тем, что погрешность, как следует из приведенных выше формул, пропорциональна третьей производной, а она для данной функции падает с ростом x.