Позиционные системы счисления

Системой счисления называется способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Системы счисления принято делить на:

· Позиционные (Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, десятичная, двоичная и т.д.).

· Непозиционные (Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа. Например, древнегреческая, кириллическая, римская).

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием – количеством различных знаков или символов, используемых для изображения чисел в данной системе.

Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание (табл. 1).

Система счисления	Основание q	Алфавит цифр
Десятичная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная		0,1
Восьмеричная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A(10), B(11), C(12),D(13), E(14), F(15)

Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую

Округление

В процессе перевода следует вычислять на одну цифру больше, а затем, применяя правила округления, сокращать эту цифру.

Выполняя округление, нужно соблюдать следующее правило: если первая отбрасываемая цифра больше или равна n/2 (n — основание системы), то к сохраняемому младшему разряду числа прибавляется единица.

Например,

округление восьмеричного числа 32,32471₈ до одного знака после запятой даст в результате 32,3;

округление до двух знаков после запятой — 32,33.

Перевод чисел из q-ичной системы счисления в десятичную

1) пронумеровать каждую цифру q-ичного числа следующим образом: целую часть нумеруем,начиная с 0, справа налево в сторону увеличения, а дробную часть, начиная с –1, слева направо в сторону уменьшения;

2) каждую цифру q-ичного числа умножить на основание системы счисления q в соответствующей степени;

3) выполнить арифметические действия.

Перевести число 56₈в 10-ю систему счисления

Перевести число 2E₁₆в 10-ю систему счисления

Перевод чисел из 2-ичной системы счисления в 2ⁿ-ичную

1) разбить исходное число на группы по n цифр в каждой (целая часть – налево, дробная часть - направо), дописав слева и справа нужное количество нулей;

2) перевести каждую группу в систему счисления с основанием 2ⁿ(см. табл. 2 и 3).

Перевод чисел из 2ⁿ-ичной системы счисления в двоичную

Обратный переход из системы счисления с основанием 2ⁿ осуществляется заменой каждой цифры исходного числа соответствующим n-разрядным двоичным числом.

Для перевода в 8-ичную и 16-ичную систему счисления используйте таблицу, рассмотренную ранее (см. табл. 3).