Теоремы для одной переменной охватывают все операции над переменной x и константами "0" и "1":
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Теоремы для двух или более переменных – x и y:
10. Переместительный закон:
11. Сочетательный закон:
12. Распределительный закон:
Доказательство:
Здесь к скобке применена теорема 2.
13. Закон поглощения:
Доказательство:
14.
Доказательство:
15. Закон склеивания:
Доказательство:
16. Закон отрицания (теорема де-Морана)
Результат выполнения логических операций над двоичными переменными называется булевой функцией F. Она может принимать только два значения – "0" или "1". Задать булеву функцию – значит указать ее значение при всех возможных комбинациях переменных (аргументов). Если число переменных равно "n", то число возможных комбинаций равно . Когда значение функции известно для всех комбинаций, она называется полностью определенной. В противном случае – частично определенной.
Булевы функции необходимы для синтеза цифровых устройств, содержащих только логические элементы. Для представления булевых функций часто применяют словесное описание, табличное и алгебраическое представление.
Словесное описание функции должно однозначно определять все случаи, в которых выходные сигналы принимают значение "1" или "0". Например: Спроектировать устройство с тремя входами x1, x2, x3, на выходе которого сигнал F = 1 в случае, если на любые два или на все три входа подан сигнал "1".
Табличное представление – это перечисление всех возможных комбинаций входных сигналов. Для устройства, заданного приведенным выше словесным описанием, таблица значений имеет вид