Расчетные схемы и компьютерные модели

Содержание

Результаты работы проектировщика (принятые им проектные решения) зависят от многих факторов, среди которых одно из первых по значимости мест занимают результаты расчетов конструкций.

Любой расчет выполняется в соответствии с какой-либо математической моделью. Например, формула является математической моделью распределения нормальных напряжений в изгибаемых элементах. Любая, простая или сложная, математическая модель лишь приближенно отражает действительное поведение конструкций под нагрузками. Следовательно, расчеты не дают абсолютно точного знания того, что будет происходить с построенным зданием или сооружением, проектированием которого мы занимаемся.

Это создает ситуацию некоторой неопределенности, в условиях которой приходится принимать проектные решения.

Вследствие этого к расчетам не следует относиться как к некоторому универсальному средству, которое способно дать ответ на любой вопрос, возникающий в процессе проектирования. Существует следующая формулировка, которая характеризует роль расчетов в проектировании: «Расчеты – это способ рассуждения, а результаты расчетов – информация для такого рассуждения».

Для расчетов строительных конструкций используются различные методы, которые описывают поведение конструкций при силовом или каком-либо ином воздействии на них. Все существующие методы основаны на одной из следующих систем уравнений:

Обычно уравнения (1) получаются довольно громоздкими, и их аналитическое решение (алгебраическое, не численное) возможно только для самых простых систем.

Если уравнения (1) принять за точные методы расчета, то относительно них метод конечных элементов (МКЭ) является приближенным методом, поскольку сооружение рассматривается как совокупность отдельных конечных элементов, связанных между собой с помощью каких-либо граничных условий. Но, поскольку для любого конечного элемента существует точное решение уравнений (1), то существует принципиальная возможность приближенного расчета систем практически любой сложности.

Такая возможность в практической работе проектировщика позволила отказаться от многочисленных узко ориентированных приемов строительной механики.

Подготовленная для расчета совокупность конечных элементов получила название «расчетная схема».

Применение расчетных схем решает, фактически, одну задачу – нахождение компонентов напряженно-деформированного состояния фиксированной расчетной схемы при заданных нагрузках. После определения усилий в элементах расчетной схемы происходит проверка принятых сечений по несущей способности и жесткости. Проверка элементов расчетной схемы осуществляется по нормам проектирования деревянных, железобетонных, стальных и т. д. конструкций. При проверке сечений нормы проектирования допускают, например, развитие пластических деформаций в стальных элементах, раскрытие трещин в железобетонных элементах и т.д. В результате в проект могут попасть такие элементы сооружения, которых не было в расчетной схеме! А если их не было в расчетной схеме (вместо них были какие-то другие, работающие в упругой стадии, без трещин и т. д.), то возникает вопрос, правильно ли были вычислены усилия, по которым выполнен подбор или проверка сечений?

Выходом из этой ситуации является пересчет расчетной схемы, в которой конечные элементы имеют параметры, соответствующие запроектированным сечениям элементов. Если полученные усилия в элементах с хорошей точностью совпадают с усилиями в элементах исходной расчетной схемы, то проектирование элементов считается завершенным. В противном случае необходимо запроектировать элементы при новых усилиях в них, отредактировать расчетную схему и вновь ее пересчитать. Такие циклические расчеты должны продолжаться до тех пор, пока не совпадут параметры конструктивных элементов на предыдущем и последующем шагах.

Проектирование конструкций возможно в рамках принципиально иной методики. Другим способом проектирования конструкций является прогнозирование результатов проектирования непосредственно в расчетной схеме. Современные возможности технических средств и методов строительной механики позволяют учесть, например, физическую и геометрическую нелинейность, непосредственно в дискретной расчетной схеме. Такие расчетные схемы со временем получили наименование «компьютерные модели».

Кроме этого, компьютерные модели позволяют решать ряд нетрадиционных задач, например:

· контактные задачи в месте сцепления арматуры с бетоном (что в ряде случаев может заменить натурные испытания);

· расчет зданий с учетом этапов монтажа: рассчитывается последовательность расчетных схем, в каждую из которых добавляется новый этаж со своими постоянными и монтажными нагрузками. После завершения моделирования строительства к окончательной расчетной схеме прикладываются эксплуатационные нагрузки.

По прогнозам, самостоятельная роль упруго-линейных расчетных схем со временем будет стремительно уменьшаться.

Характеристики промышленных программ

В настоящее время существует несколько сотен промышленных расчетных программных комплексов.

При выборе промышленной программы предпочтительнее будет та, которая имеет конструирующие подсистемы, в которых реализованы нормы проектирования и стандарты заказчика проекта.

Наиболее удобное и быстрое проектирование возможно с помощью программ, в которых реализованы следующие компоненты.

1. Мощная графическая поддержка.

2. Развитая система помощи и подсказок.

3. Диагностика ошибок.

Реализация пунктов 1 … 3 определяет наличие «дружественного интерфейса» программы.

Например, графическая среда ANSYS (ANSYS – одна из самых мощных в мире), кроме традиционных способов визуализации модели, имеет следующие средства анализа исходной информации:

· построение любых сечений и разрезов;

· присвоение полупрозрачности конечным элементам;

· позиционирование источников света;

· возможность нанесения на изображение символов и текста.

4. Разнообразные возможности создания и редактирования модели, базы данных сечений и материалов.

5. Графическое представление результатов с возможностью экспорта в другие приложения, например, Word, Excel, Access, конструирующие подсистемы.

6. Наличие настраиваемых параметров интерфейса («гибкий» интерфейс).

7. Развитый набор функций экспорта/импорта для взаимодействия с другими промышленными программами.

8. Совместимость с предыдущими версиями программы.

9. Возможность установки программы под различные ОС.

Одним из требований к программным комплексам является наличие сертификата.

Сертификат соответствия говорит лишь о том, что программа правильно отображает требования тех СНиП, ГОСТ и других нормативных документов, которые заявлены разработчиками. При этом сертификат часто даже не указывает, что программа соответствует только некоторым пунктам документов, но не нормативным документам в целом.

Общий ход решения задач на основе МКЭ

Идея МКЭ заключается в том, что вместо поиска единого аналитического решения функции y=f(x) используют ее кусочно-линейную аппроксимацию (рис. 1). На каждом участке

Вся область решения разбивается на подобласти конечных размеров, достаточно малых, чтобы обеспечить требуемую точность. Предположим, требуемая точность достигается при разбиении области аргумента на шесть подобластей. Для каждой подобласти решение записывается в виде формулы (2) со своими коэффициентами a и b.

Если каким-либо способом определить значения y₁, y₂, … , y₇ в точках x₁, x₂, … , x₇, то задача будет решена, поскольку с помощью равенств (2) можно будет вычислить приближенные значения функции в любой точке интервала x₁ … x₇.

Ход решения задачи состоит из следующих трех этапов.

1. Выделение конечных элементов

На рис. 1 выделено шесть разных по длине конечных элементов: x₁-x₂, x₂-x₃, … , x₆-x₇.

2. Определение аппроксимирующей функции (функции формы) для отдельного КЭ

Рассмотрим один из выделенных элементов x_i-x_k.

Функция формы будет определена, если будут известны коэффициенты a и b уравнения (2). Коэффициенты a и b вычисляются из граничных условий:

при x=x_i: y=y_i;

при x=x_k: y=y_k.

Подставляя эти значения в равенство (2), получим систему уравнений относительно a и b:

y_i=ax_i+b

y_k=ax_k+b,

откуда a=(y_k-y_i)/L_ik, b=(y_ix_k-y_kx_i)/L_ik,где L_ik=x_k-x_i – длина конечного элемента.

Подставляя коэффициенты a и b в формулу (2), для каждого КЭ можно записать:

(3)

Компоненты уравнения (3) в квадратных скобках называют функциями формы одномерного КЭ.

Для конечных элементов, которыми оперирует наука «Строительная механика», функции формы определяют прогибы, кривизны, усилия, напряжения и т. д. в узлах конечного элемента, а для каждых из перечисленных усилий, напряжений и т. д. выступает своя функция y.

3. Определение узловых значений функции

Последний этап решения не может быть рассмотрен в абстрактной форме, как это было сделано для этапов 1, 2, так как необходимо знать конкретные уравнения (1).

Предположим, что поведение системы (или внешний вид зависимости y=f(x)) описывается функционалом, который выражает полную потенциальную энергию системы:

.

(4)

Здесь функционал записан в самом общем виде.

Полная потенциальная энергия системы складывается из работы внешних нагрузок на перемещениях узлов системы (сила ´ перемещение) и энергии, накопленной деформированными элементами системы (аналогично энергии сжатой пружины).

Решение задачи основано на том, что, если система находится в равновесии, то ее полная потенциальная энергия минимальна.

Шесть уравнений вида (3) подставляются в (4), в результате чего получаем выражение для J с неизвестными y₁, y₂, … , y₇.

Минимум потенциальной энергии соответствует равенству нулю частных производных

(5)

Количество уравнений (5) равно количеству неизвестных, что позволяет определить значения y₁, y₂, … , y₇.

Таким образом, задача решена.

Недостатки МКЭ

Для программирования наиболее удобным является МКЭ в перемещениях, когда сначала вычисляются компоненты перемещений модели, а затем по найденным компонентам перемещений вычисляются усилия и напряжения в элементах. Под компонентами перемещений понимаются линейные перемещения узлов и повороты узловых сечений элементов.

МКЭ в перемещениях имеет ряд существенных недостатков:

· пониженная (по сравнению с перемещениями) точность вычисления напряжений и усилий;

· разрывы значений напряжений и усилий в узлах (рис. 2);

· не использование граничных условий, выраженных в напряжениях и усилиях.

В промышленных программах имеется возможность выбрать способ представления результатов при наличии разрывов усилий и напряжений.

Например, в системе ADINA имеется возможность выдачи следующих результатов:

· разрывных значений;

· осредненных в узлах значений;

· экстремальных значений и разностей;

и т. д.

Для устранения разрывов усилий и напряжений должна быть решена следующая задача.

Пусть [u] – векторное поле перемещений, [s] – векторное поле напряжений.

В МКЭ выполняется операция [s]=[Q]´[u], где [Q] – оператор, отображающий перемещения в напряжения.

Для сглаживания напряжений необходимо выполнить операцию [s]*=[P]´[s], где [P] – сглаживающий оператор. Ставится задача найти [P], при этом требуется, чтобы точность [s]* была не ниже точности [s]. Кроме того, требуется, чтобы сохранялись естественные разрывы в местах, например, скачкообразного изменения жесткости.

Такое решение задачи в программных продуктах пока не представлено.

Пути совершенствования МКЭ

В настоящее время действительной альтернативы МКЭ в перемещениях найти не удалось.

Вследствие этого многими исследователями ставились и с разным успехом решались задачи совершенствования МКЭ в перемещениях. Основными направлениями совершенствования МКЭ являются следующие.

1. Построение (разработка) уточненных КЭ за счет увеличения количества узловых неизвестных и степени аппроксимирующих полиномов. Этот прием носит название «p-метод». Например, если уравнение (2) представить в виде y=ax²+bx+c, то получим новые КЭ, и эта операция будет соответствовать «p-методу». Степень полинома (2) увеличится с 1 до 2, и появится новое неизвестное – c.

2. «h-метод», при котором уменьшаются размеры КЭ. Если изображенную на рис. 1 область решения разбить на конечные элементы, например, x₁-x₂, x₂-x₃, … , x₁₃-x₁₄ меньших размеров, то эта операция будет соответствовать «h-методу». Уравнения, описывающие конечные элементы, не зависят от размеров конечных элементов. Поэтому проблема реализации «h-методов» в большей степени относится к области вычислительной математики, так как здесь необходимо обеспечить заданную точность численного решения систем уравнений больших размерностей.

3. Разработка различных методов более точного вычисления напряжений.

Как уже говорилось, компьютерные модели любой сложности создаются из базовых элементов – стержней, пластин, оболочек и т. д. Базовые элементы (в силу своей значимости для любой модели) должны изучаться со всей доступной степенью строгости.

Также фундаментальную роль играет правильное описание диаграмм работы материалов и правильный выбор проектировщиком той диаграммы, которая наилучшим образом соответствует целям расчетной модели.

При работе с программными комплексами, в которых представлена «физическая нелинейность», следует выяснить, действительно ли это физическая нелинейность или всего лишь нелинейная упругость (рис. 3).

Физически нелинейный материал характеризуется остаточными деформациями после разгрузки, а линия разгрузки на диаграмме s(e) не совпадает с линией нагружения, что соответствует действительной работе любого материала.

Разгрузка нелинейно-упругого материала происходит строго по линии нагружения. Разработчики программных комплексов допускают такое противоречие со здравым смыслом ради того, чтобы обойти некоторые проблемы, которые возникают при моделировании истинной физической нелинейности.

К указанным проблемам относятся, например, следующие проблемы.

1. Нелинейные свойства материала часто неизвестны.

2. Граничные условия между элементами могут изменяться, например, из-за изменения площади контакта.

3. Состояние конструкции может зависеть от последовательности приложения нагрузок, так как разные нагрузки вызывают разные зоны нагружения и разгрузки в поперечных сечениях элементов.

4. Невозможен расчет на сочетания нагрузок (как следствие п.3).

Программные возможности повышения точности расчетов

1. Решение систем уравнений высоких порядков

При компьютерном решении систем линейных алгебраических уравнений порядка (N´10⁵)´(N´10⁵) и более возникает проблема накопления ошибок.

В промышленных программах реализованы различные методы решения систем линейных алгебраических уравнений высоких порядков, направленные на преодоление этой проблемы (итерационные и т.д.).

Уменьшить размерность решаемых задач можно на уровне моделирования, если в модели использовать так называемые «суперэлементы».

Пример: вертикальная диафрагма панельного здания, сдерживающая сдвиговые деформации (рис. 4). Вместо реальной диафрагмы с большим количеством КЭ можно использовать один суперэлемент (например, пластину). Толщина пластины и свойства материала должны быть такими, чтобы ее перекос от единичной нагрузки совпадал с реальной панелью. Параметры пластины подбираются путем проведения сравнительных расчетов многоэлементной панели и суперэлемента.

В дальнейшем суперэлемент может быть включен в библиотеку КЭ.

В свою очередь, суперэлементы могут объединяться в более сложные суперэлементы и т. д.

Метод суперэлементов особенно эффективен при наличии нескольких идентичных фрагментов расчетной схемы, которые можно заменить суперэлементами.

Расчет самих суперэлементов выполняется следующим образом.

Во-первых, рассчитывается модель всего сооружения (см. модель А на рис. 5) с суперэлементами.

Во-вторых, силы взаимодействия суперэлемента с отброшенной частью модели прикладываются к части сооружения (модель Б), которую заменил суперэлемент.

Так как суперэлемент в модели А находится в равновесии, то внешние нагрузки для модели Б являются системой самоуравновешенных сил. Это означает, что независимо от того, на каких опорах будет рассчитана модель Б, опорные реакции должны быть равны нулю. При компьютерной реализации такого обычно не получается, но, по крайней мере, опорные реакции должны быть близки к нулю.

При анализе результатов расчета модели Б следует учитывать одно обстоятельство. В модели Б существует приграничная зона, напряженное состояние которой чувствительно к погрешностям расчета модели А. Обычно зона чувствительности распространяется на глубину одного - двух шагов сетки конечных элементов.

2. Плохая обусловленность матрицы жесткости системы.

Решение системы уравнений называется устойчивым, а матрица коэффициентов этих уравнений – хорошо обусловленной, если малые отклонения коэффициентов системы приводят к малым изменениям результатов решения.

Плохая обусловленность может появиться, например, тогда, когда в одном узле конечноэлементной модели сопрягаются элементы с резко различными жесткостными параметрами.

Пример: система пружин, изображённая на рис. 6, а. ak и k – жёсткости пружин.

Матрица жёсткости системы имеет вид:

.

(6)

Если жёсткости крайних пружин малы (a»0), то K»0. Матрица жёсткости K плохо обусловлена, и система близка к изменяемой.

Пример: каркас здания, изображённый на рис. 6, б. Выражение для матрицы жёсткости этой системы совпадает с формулой (6), если ввести обозначения: ; . Чем жёстче ригель, тем хуже обусловлена матрица жёсткости.

Пример: модель одноэтажной рамы промышленного здания со ступенчатыми колоннами (рис. 7).

При задании больших жесткостей переходных элементов из-за ухудшения обусловленности матрицы K можно получить несимметричное решение при симметричной нагрузке.

Моделирование ступенчатых колонн переменного сечения – см. лабораторную работу №1.

Неопределенность параметров модели

Любая компьютерная модель описывает сооружение с той или иной степенью погрешности. Обычно погрешности компьютерных моделей сложно оценить, что создает ситуацию неопределенности.

Источником погрешностей моделей и неопределенностей являются:

· идеализация связей, нагрузок и т. д.;

· естественный разброс фактических значений модуля упругости бетона;

· параметры естественных оснований;

· фактическая жесткость узлов.

Пример: при монтаже мачты на оттяжках нормативными документами допускается неточность ±8% предварительного натяжения оттяжек. Проверочные расчеты показывают, что при таких допусках в некоторых конструктивных схемах мачт изгибающие моменты в отдельных сечениях ствола изменяются почти в два раза!

Для оценки неопределенности можно вводить искусственную вариацию какого-либо параметра. Если по абсолютной величине изменение результатов приблизительно равно изменению параметра, то говорят, что результаты устойчивы относительного варьирования именно этого параметра.

В вышеприведенном примере результаты неустойчивы относительно варьирования предварительного натяжения оттяжек.

Дефекты и повреждения реальных конструкций являются еще одним источником неопределенностей.

Пример: плита или балка под равномерной нагрузкой (рис. 8).

Изгибающие моменты в балке с заделками по концам приведены в любом справочнике по сопротивлению материалов. Если в середине балки имеется повреждение, уменьшающее поперечное сечение балки, то пролетный момент уменьшается, а опорные моменты увеличиваются. Объяснением этому служит предельный случай, когда повреждение полностью разрушило сечение балки, и она стала работать как две консоли.

Еврокод-3 требует учета возможных начальных несовершенств даже при выполнении общего статического расчета рам.

В общем случае учету подлежат:

· несовершенства системы в целом;

· неидеальность узловых соединений;

· несовершенства элементов конструкций.

Начальные геометрические отклонения допускается учитывать в виде эквивалентных нагрузок, действующих в неблагоприятных напрвлениях.

Конечноэлементные модели и сходимость МКЭ

По форме конечные элементы можно разделить на следующие категории (рис. 9):

· стержни;

· плосконагруженные элементы;

· плоскоизогнутые элементы;

· объемные элементы.

Одной из важнейших характеристик конечноэлементной модели является диаметр элементов h. h – это минимальный диаметр шара, в который можно вложить любой КЭ расчетной схемы. Меняя h, можно получать различные приближенные решения. Когда говорят о сходимости МКЭ, то имеют в виду, что приближенное решение сходится к точному решению при h ® 0.

Стержневые системы

Для одномерных задач доказана теорема: независимо от «h» (т.е. от количества конечных элементов) и нагрузки конечноэлементное решение будет совпадать с точным решением.

Исключением из этого правила являются нелинейные расчеты, например, расчет балки на упругом основании, расчет элементов с учетом продольных сил.

Пример: При больших усилиях сжатия в элементе, изображенном на рис. 10, M = M_изгиб + N ´ f.

В SCADе существует стержневой элемент типа 310. Для него величина продольной силы учитывается при вычислении прогибов. Для достижения хорошей точности стержень достаточно представить в виде 4…6 конечных элементов. Существует оценка достаточности разбиения: вычисляется параметр (l – длина конечного элемента). Для отдельных конечных элементов должно соблюдаться условие n £ p/2.

В англоязычной литературе, например, в Еврокоде, влияние продольных сил на изгиб элементов носит название «вторичных эффектов», а методика их учета – «P-D анализ».

Излишнее дробление конструктивных элементов на конечные элементы, вместо увеличения точности, может привести к обратному эффекту.

Пример: консольная балка (рис. 11).

Известна точная формула для вычисления максимальных прогибов консоли: w* = PL³ / (3EJ).

В системе SCAD были вычислены прогибы консоли w при различных количествах конечных элементов и различном порядке нумерации узлов. Результаты приведены в табл. 1.

Таблица 1

Результаты вычисления прогибов консольной балки

Очевидно, что порядок нумерации узлов может очень сильно повлиять на результаты.

Для минимизации погрешности, зависящей от последовательности нумерации узлов, целесообразно проводить эту нумерацию, начиная от наиболее податливой части сооружения, постепенно перемещаясь к местам закреплений.

Шарнирно-стержневые системы

Обычно для расчета плоских и пространственных ферм применяется шарнирная модель. Её использование обосновано следующими фактами.

1. Стержни являются столь гибкими, что практически не воспринимают изгибающих моментов.

2. Все внешние нагрузки приложены к узлам, поэтому основными компонентами напряженного состояния являются продольные усилия.

Иногда учитывают соотношение жесткостей поясов и решетки. При мощных поясах учитывают только концевые шарниры элементов решетки, не разрезая шарнирами сами пояса (рис. 12).

Если возникает необходимость улучшить точность расчетов и учесть, например, жесткость узлов, расцентровку элементов в узлах и т. д., то для небольших систем (порядка нескольких сотен неизвестных) трудностей не возникает.

Для больших систем моделирование ферм как рам ухудшает обусловленность матрицы жесткости системы [K]. Это связано с большой разницей величин осевых и изгибных жесткостей.

В этом случае рекомендуется следующая методика расчета.

1. Расчет шарнирно-стержневой системы.

2. Расчет системы с жесткими узлами (без шарниров), закрепленными от всех линейных перемещений (рис. 13). Воздействиями на такую систему являются перемещения узлов, полученные в п.1.

Таким способом отделяются друг от друга осевые и изгибные жесткости (разводятся по разным этапам расчета).

Моносвязи и полисвязи

Рассмотрим расчетную схему, состоящую из некоторого количества узлов и элементов.

Обозначим через u₁, u₂, …, u_n совокупность линейных и угловых перемещений узлов системы.

В общем случае уравнения связей записываются следующим образом:

c₁₁u₁ + c₁₂u₂ + … + c_1nu_n = 0

c₂₁u₁ + c₂₂u₂ + … + c_2nu_n = 0

…

c_p1u₁ + c_p2u₂ + … + c_pnu_n = 0.

Если уравнение связи содержит только один отличный от нуля коэффициент c, например, c₁₁u₂ = 0, то связь является моносвязью (рис. 14, а). В любом другом случае связь является полисвязью, например, u_loc = c₁₁u₁ + c₁₂u₂ = 0 (рис. 14, б). Последнее уравнение говорит о том, что можно подобрать такие коэффициенты c₁₁ и c₁₂, чтобы обеспечить равенство нулю перемещений по осям, направление которых не совпадает с направлениями глобальных осей координат.

Организовать программную обработку полисвязей гораздо сложнее, чем моносвязей. Этим объясняется то, что в наиболее продвинутых программных комплексах вводятся локальные системы координат, связанные с узлами. В локальной системе координат X_locY_locZ_loc связь, изображенная на рис. 14, б, является моносвязью.

К частным случаем полисвязей относятся абсолютно жесткие вставки и объединение перемещений.

Полисвязи считаются небезопасным инструментом. Рассмотрим некоторые примеры использования полисвязей, приводящие к ошибкам в описании объекта проектирования.

1. Если расчетная модель содержит статически неопределимую подсистему, которая целиком состоит из абсолютно жестких элементов, то задача о распределении усилий в системе не будет иметь единственного решения (т. е. для проектировщика не будет иметь вообще никакого решения!).

2. При описании жесткого диска перекрытия были объединены все линейные перемещения узлов, принадлежащих диску, по направлению горизонтальных осей X, Y. Тем самым был наложен запрет на поворот диска вокруг вертикальной оси. Более правильным является решение, в котором узлы диска перекрытия объявляются принадлежащими абсолютно твердому телу. В этом случае на их перемещения накладывается единственное ограничение: расстояние между узлами не изменяется при деформировании каркаса.

Нуль-элементы

Нуль-элементы как специальный тип КЭ введены в системах Lira, SCAD в качестве инструмента, заменяющего полисвязи.

Нуль-элементы позволяют:

· включать в расчетную схему абсолютно-жесткие тела;

· вводить закрепления узлов по косым направлениям;

· объединять перемещения узлов;

и т. д.

Простейший пример нуль-элемента – элемент между узлами n и k, состоящий из двух пружин (рис. 15, а). Жесткости пружин равны «-c» и «c». Пружина с жесткостью «c» ведет себя как обычная пружина, а с жесткостью «-c» – растягивается при сжатии и сжимается при растяжении. При работе нуль-элемента в составе расчетной схемы расстояние между узлами n и k не изменяется (рис. 15, б), т. е. элемент ведет себя как абсолютно жесткий в продольном направлении или нуль-податливый.

В системах Lira, SCAD используется целая серия нуль-элементов, каждый из которых моделирует какой-либо вариант полисвязей (жесткие тела, закрепления узлов по направлениям, не совпадающим с направлениями глобальных осей координат и т. д.).

Нуль-элементы должны вести себя как абсолютно жесткие при любых значениях «c», однако существует общая рекомендация назначать жесткости нуль-элементов приблизительно такого же порядка, что и окружающих их элементов.

Некоторые программные комплексы предоставляют более удобные (для проектировщика, а не для разработчиков программы!) средства для объединения перемещений узлов. Например, программный комплекс SAP2000 позволяет объявить группу узлов как:

· жёсткое тело (узлы перемещаются и поворачиваются вместе, как если бы они были соединены абсолютно жёсткими связями);

· жёсткая диафрагма (узлы перемещаются как абсолютно жёсткое тело в плоскости диафрагмы, но на их перемещения из плоскости диафрагмы никаких связей не наложено); обычно с помощью диафрагм моделируются монолитные диски перекрытий зданий;

· жёсткая плита (узлы перемещаются как жёсткое тело из плоскости плиты, т. е. плита не изгибается, но на перемещения узлов в плоскости плиты никаких связей не наложено);

· жёсткий брус (узлы перемещаются как абсолютно жёсткое тело в продольном направлении бруса; на другие перемещения никаких связей не наложено);

· жёсткая балка (узлы, объединенные в жесткую балку, не могут перемещаться так, как если бы балка изгибалась; на другие перемещения никаких связей не наложено).

Имеются и другие способы объединения перемещений узлов, например, объявление равенства перемещений и т. д.

Моделирование поверхностей

Задача моделирования поверхностей возникает при расчете систем, в состав которых входят плоские изгибаемые плиты, изгибаемые в вертикальной плоскости диафрагмы или криволинейные оболочки.

Оболочки двоякой кривизны относятся к одним из самых сложных объектов строительной механики. Во многих практических случаях они могут быть заменены многогранником, составленным из достаточно большого количества плоских конечных элементов.

Достаточное количество конечных элементов для моделирования изгибаемых плит и оболочек можно определить, если воспользоваться формулой для оценки погрешности расчетов. Погрешность в определении напряжений и деформаций имеет порядок ch/L, где c – константа, зависящая от формы плиты или оболочки, h – шаг сетки, L – характерный размер плиты или оболочки. Например, для достижения точности 5% нужно принять шаг сетки приблизительно равным L/20, что приводит к необходимости ввода в модель 400 конечных элементов.

Большинство современных программных комплексов обладают теми или иными автоматическими сеточными генераторами, облегчающими ввод конечных элементов при моделировании поверхностей. Например, комплекс ANSYS содержит несколько десятков функциональных возможностей для генерирования сеток конечных элементов.

На практике часто используется метод последовательных решений на сгущающихся конечных элементах с анализом тех результатов, которые требуются в данной задаче.

Пример: расчет в системе SAP2000 шарнирно опертой по краям стальной пластины толщиной 5 мм размерами 1600 ´ 2400, загруженной в центре силой 100 кг. Последовательные решения привели к следующим результатам:

· при сетке конечных элементов 2´2 прогиб в центре плиты составил 1,700 см;

· при сетке конечных элементов 4´4 прогиб в центре плиты составил 1,629 см.

Уточнение составило 4,2%. Очевидно, что следующее уточнение при более густой сетке будет менее 4,2%. Если точность определения прогибов 4,2% нас устраивает, то последнее решение принимается за окончательное.

Точное решение по [4] дает величину прогибов 1,624…см.

Могут не так хорошо сходиться напряжения. Они определяются дифференцированием перемещений w, а величины w и имеют различную сходимость.

Экстраполяция Ричардсона

Экстраполяция Ричардсона позволяет получить уточненное решение, если известно несколько решений, полученных при различных размерах пластинчатых конечных элементов.

Пусть нам известны X₁, X₂, X₄ – решения, полученные на сетке конечных элементов с характерным размером соответственно h, h/2, h/4. В качестве X могут выступать прогибы, напряжения и любые другие компоненты напряженно-деформированного состояния плит и оболочек. При этом необходимо, чтобы конечные элементы различались лишь масштабом, но не формой, свойствами материала и т. д.

Требуется найти точное решение X_R в виде X_R=a₁X₁+a₂X₂+a₃X₄.

Вывод формулы для уточненного решения приведен в [2]. Величина X_R вычисляется по формуле

,где .

Несовместность конечных элементов

Термин «несовместность конечных элементов» применяется к таким конечным элементам, по границам которых возможны перемещения, не существующие в реальной конструкции. Пример приведен на рис. 16. Жесткое сопряжение элементов сооружения моделируется с помощью конечных элементов, которые описываются уравнениями, содержащими только узловые перемещения. В этом случае углы поворота опорных сечений конечных элементов в местных системах координат равны нулю, как показано на рис. 16, б.

Для того чтобы избежать попадания несовместных конечных элементов в модель, проектировщику необходимо изучить подробное описание конечных элементов используемого программного комплекса. Иногда вместо подробного описания разработчики программных комплексов дают ссылку на название расчетной теории, предполагая, что проектировщик должен иметь достаточные знания в области строительной механики.

Приведем некоторые примеры.

1. В системе SCAD конечный элемент 23 описан как «универсальный прямоугольный конечный элемент плоской задачи теории упругости» со степенями свободы X, Y, Z. Использование таких конечных элементов для конструкции, изображенной на рис. 16, а, приведет к результатам, показанным на рис. 16, б.

2. В системе SCAD конечный элемент 11 описан как «универсальный прямоугольный конечный элемент плиты» со степенями свободы Z, U_X, U_Y. Такой конечный элемент моделирует только вертикальные перемещения узлов и углы поворота опорных сечений относительно горизонтальных осей.

3. Элемент Клафа аналогичен конечному элементу 11 системы SCAD.

4. Элемент Богнера-Фокса-Шмита оперирует перемещениями элемента Клафа и (дополнительно) кривизной опорных сечений, определяемой величиной , где w – перемещения узлов в вертикальной плоскости.

Сопряжения разнородных элементов в общей модели

Часто при сопряжении разнородных элементов в общей модели (стержней и плит, плит и объемных конечных элементов и т. д.) возникает проблема несовместности конечных элементов.

Варианты сопряжения разнородных конечных элементов многообразны. Рассмотрим наиболее типичные примеры.

1. Создается модель, включающая в себя монолитную плиту на упругом основании, к которой жестко примыкает каркас сооружения, состоящий из колонн, балок или ригелей и т. д. При сопряжении плиты с колоннами так, как показано на рис. 17, а, изгибающие моменты в опорных сечениях колонн будут далеки от действительного распределения изгибающих моментов. Правильным было бы сопряжение колонн с плитами, показанное на рис. 17, б или 17, в.

2. Сопряжение вертикальной диафрагмы и каркаса (рис. 18, а). Если для диафрагмы используются простейшие конечные элементы с двумя степенями свободы в узле (перемещениями по осям X и Z), то это будет моделировать шарнирное примыкание ригелей к диафрагме. При необходимости обеспечить жёсткость узлов примыкания можно воспользоваться одним из способов, показанных на рис. 18, б или 18, г.

Плиты перекрытий, усиленные балками

В практике проектирования распространены конструкции, схема которых представлена на рис. 19, а. Плита перекрытия замоноличивается совместно с балочным элементом, в результате чего образуется комбинированная система, состоящая из изгибаемых элементов и плиты, находящейся в условиях двухосного напряженного состояния.

При конечноэлементной реализации подобных конструкций также возникает проблема стыковки элементов различной мерности – одномерных конечных элементов балок и двумерных конечных элементов плит.

Если не использовать объемные конечные элементы, то наиболее полно учитывает комплекс усилий модель, изображенная на рис. 19, б. В виде балки представляется выступающая вниз часть перекрытия. Плита разбивается на квадратные или прямоугольные конечные элементы плиты так, чтобы их узлы располагались над узлами балки. Конечные элементы плиты стыкуются с конечными элементами балки через абсолютно жесткие вставки элементов балки.

При реализации модели по рис. 19, б трудности возникают на последних этапах проектирования, когда необходимо осуществить переход от модели к расчетному тавровому сечению для расчета армирования. Основным вопросом является вопрос о том, какая часть плиты (по ширине) вовлекается в работу на изгиб в качестве полки тавра.

Рассмотрим методику определения усилий в тавровом сечении и его размеров. Методика основана на следующих предположениях:

· при изгибе перекрытия в полке тавра возникают равномерно распределенные по толщине полки сжимающие напряжения;

· продольная сила в полке тавра уравновешивает продольную силу в балке.

В результате расчета комбинированной системы получим усилия в балке: N_b – продольная сила, M_b – изгибающий момент. Согласно данной методике, в полке тавра возникает усилие, равное N_b и направленное в противоположную сторону относительно усилия N_b в балке (рис. 19, в).

Изгибающий момент, действующий на слитное тавровое сечение, вычисляется по формуле M_t = M_b + N_b (h_b / 2 + h_p / 2). На этот изгибающий момент производится расчет армирования тавра.

В предельном состоянии таврового сечения напряжения в полке равны расчетному сопротивлению бетона R_b, то есть N_b = R_b b_p h_p, откуда определяется расчетная ширина полки тавра b_p.

Геометрическая нелинейность

В большинстве случаев строительные конструкции проектируют таким образом, что их деформации и перемещения малы. Например, прогибы балок и отклонения верха колонн не должны превышать нескольких сотых от пролета балки или высоты колонны. Предположение о малости перемещений и, в особенности, углов поворота служит основанием для решения задачи в геометрически линейной постановке.

Если особенностью проектируемого объекта являются большие перемещения (как, например, в различного рода вантовых системах), то необходимо применять геометрически нелинейные расчеты. Расчеты с учетом геометрической нелинейности учитывают влияние больших перемещений на напряженно-деформированное состояние конструкций.

По поводу нелинейных расчетов документация к программному продукту должна отвечать на следующие вопросы.

1. Какие степени геометрической нелинейности реализованы в программе?

2. Каковы границы применимости использованного варианта нелинейной теории?

В теориях расчетов строительных конструкций рассматриваются четыре степени геометрической нелинейности.

1. Слабейший вариант геометрически нелинейной теории, в которой уравнения равновесия составляются для деформированного состояния системы. Любыми другими геометрически нелинейными эффектами теория пренебрегает.

Такая теория имеет следующие названия:

· расчет по деформированной схеме;

· линеаризованные уравнения;

· теория второго порядка (это название употребляется в англоязычных изданиях).

2. Вторую степень геометрической нелинейности рассмотрим на примере растяжения/сжатия стержня под действием силы P.

Введем обозначения:

L – начальная длина стержня;

D – удлинение/укорочение стержня. Величина D равна разнице перемещений концевых узлов стержня вдоль его продольной оси.

Продольные деформации стержня можно вычислить по формуле e=N/(EA). Для геометрически линейных систем можно было бы записать e = D / L. При второй степени геометрической нелинейности нарушается равенство между N / (EA) и D / L, то есть нарушается пропорциональность между деформациями e и перемещениями D. При этом и перемещения, и углы поворота малы по сравнению с единицей.

Примером теории, учитывающей вторую степень геометрической нелинейности, может служить теория расчета гибких пластин.

3. Третья степень геометрической нелинейности получается из второй степени геометрической нелинейности путем отбрасывания допущения о малости углов поворота элементов. С помощью теории, охватывающей третью степень геометрической нелинейности, рассчитываются, например, конструкции с гибкими нитями как геометрически нелинейные системы с большими углами поворотов элементов.

4. Четвертая степень геометрической нелинейности получается из третьей степени геометрической нелинейности путем отбрасывания допущения о малости перемещений и позволяет рассматривать системы в самой общей постановке.

Геометрически нелинейную постановку задач сопровождает, как правило, потеря единственности решения. Не все расчетные комплексы предупреждают об этом, и о том, что полученное решение является только одним из возможных, которое определяется используемым алгоритмом или рассматриваемой историей нагружения.

Шаговые процедуры как метод расчета нелинейных объектов

Во многих случаях нелинейный расчет можно заменить последовательностью линейных расчетов. Алгоритм таких расчетов получил название «шаговый метод» и выглядит следующим образом.

1. К сооружению в исходном состоянии прикладываются нагрузки небольших величин. Определяется напряженно-деформированное состояние сооружения (перемещения узлов и усилия в элементах).

2. Корректируются координаты узлов сооружения по полученным перемещениям. Фиксируется распределение усилий в элементах.

3. К сооружению с измененными координатами узлов (фактически – к новой расчетной схеме) прикладывается следующая порция нагрузок. Вычисляются перемещения узлов и усилия в элементах. Усилия в элементах алгебраически складываются с зафиксированными ранее усилиями.

4. Пункты алгоритма 2, 3 повторяются до тех пор, пока суммы порций нагрузок не достигнут заданных величин.

Существует несколько модификаций шагового метода.

1. Простой шаговый метод. На каждом шаге решается линейная задача. Погрешность решения не контролируется, так как предполагается, что шаг приращения нагрузок задан достаточно малым. На рис. 20,а дана интерпретация простого шагового метода. P – нагрузка (сумма приложенных порций нагрузки), f – перемещение какого-либо узла сооружения. Чем меньше шаг приращения нагрузок, тем ближе ломаная линия, соответствующая шаговому методу, к точному решению.

2. Шаговый метод с уточнениями. Его интерпретация показана на рис. 20,б. На каждом шаге после вычисления перемещений узлов осуществляется уточнение нагрузок, соответствующих вычисленным перемещениям (вертикальные линии на графике P(f)). Матрица жесткости системы корректируется только при переходе к следующему шагу.

3. Шагово-итерационный метод. Аналогичен шаговому методу с уточнениями, но матрица жесткости системы корректируется в процессе уточнения нагрузок на каждом шаге.

Шаговые методы не избавляют от неединственности решения. Наоборот, они иллюстрируют причину существования целого ряда решений. Приложенная несколько иным способом очередная порция нагрузок приводит к появлению другой расчетной схемы с другими координатами узлов и усилиями в элементах. От этой расчетной схемы будет продолжен расчет, который приведет уже к другим результатам.

Моделирование вантовых систем

Вантовые системы характеризуются разнообразием типов, конструктивных форм и применяемых материалов для их изготовления. Для достаточно простых вантовых конструкций существуют аналитические методы расчета различной степени сложности и точности. Здесь рассматриваются подходы, реализованные в конечноэлементных расчетах вантовых систем.

Вантовые конструкции изначально геометрически изменяемы. Если в вантах не создать предварительного натяжения, то конструкция будет являться механизмом и разрушится от собственного веса.

Даже если количество вант невелико, существует множество вариантов распределения усилий предварительного натяжения. Каждому варианту соответствует свое начальное равновесное состояние вантовой системы. Это определяет особенность расчета вантовых конструкций – расчету вантовых конструкций на внешние нагрузки должен предшествовать этап моделирования формообразования. На этом этапе устанавливаются величины усилий предварительного натяжения вант, и определяется начальная форма конструкции.

Иногда при получении неудовлетворительных результатов расчета вантовых конструкций на снеговые и ветровые нагрузки приходится возвращаться на стадию формообразования, получать другое очертание вантовых конструкций и другие усилия предварительного натяжения, после чего повторять расчет на внешние нагрузки.

Вантовые элементы в расчетной модели могут быть представлены следующими способами.

1. Упругими односторонними связями (пружинами, работающими только на растяжение и выключающимися из работы при сжатии). В этом случае некоторые стадии расчета вант приходится выполнять вручную.

2. Непосредственно вантовыми конечными элементами. В лучших образцах расчетной программной продукции вантовый элемент представляется в виде гибкой нити с малой стрелкой провисания. Гибкая нить, кроме точек закрепления, описывается следующими параметрами:

· начальным предварительным натяжением;

· поперечной нагрузкой;

· температурой, при которой происходит монтаж ванты.

Конечноэлементный расчет вантовых конструкций производится с учетом геометрической нелинейности третьей степени. В программных комплексах она может быть реализована как с помощью специально разработанных алгоритмов, так и с помощью шаговых процедур, описанных в предыдущем разделе.

Учет последовательности монтажа конструкций

Моделирование процесса возведения имеет важное значение, например, для:

· большепролетных конструкций;

· высотных зданий их монолитного железобетона;

и т. д.

В приведенных для примера конструкциях отдельная конструктивная схема части сооружения и усилия в ней могут значительно отличаться от схемы работы этой части в целом сооружении при всех нагрузках.

При учете процесса возведения рассчитывается последовательность расчетных схем, каждая из которых моделирует состояние сооружения на очередном этапе возведения. Моделирование этапов возведения – это задача творческая, нестандартная. Например, для многоэтажных зданий этап монтажа можно связать с наращиванием очередного этажа или принять более мелкие этапы так, как показано на рис. 21.

Большинство из действий, выполняемых в процессе монтажа, приводит к изменению расчетной схемы и напряженно - деформированного состояния системы.

Рассмотрим методику определения напряженно - деформированного состояния системы с учетом этапов монтажа.

1. Расчет схемы, соответствующей первому этапу монтажа. Сохранение величин перемещений узлов и усилий в элементах.

2. Дополнение расчетной схемы элементами, появляющимися на втором этапе монтажа. Расчет схемы на нагрузки, появляющиеся только на втором этапе. Суммирование полученных величин перемещений узлов и усилий в элементах с величинами, сохраненными на первом этапе. Сохранение суммарных величин перемещений узлов и усилий в элементах.

3. Повторение действий, аналогичных описанным в п.2, для третьего и т. д. этапов монтажа.

4. Расчет «смонтированной» модели на временные нагрузки и суммирование перемещений узлов и усилий в элементах с перемещениями и усилиями, сохраненными на последнем этапе монтажа.

На всех стадиях расчета необходимо производить проверку конструктивных элементов по несущей способности.

На каждом этапе расчетов решается линейная задача. Однако в целом за счет изменения расчетной схемы задача является нелинейной. Такого типа нелинейность называется «генетической нелинейностью».

В состав проектных комплексов могут входить расчетные модули, реализующие вышеприведенную методику расчетов конструкций с учетом этапов монтажа.

Например, в составе «Лиры» имеется модуль «МОНТАЖ+», который позволяет:

· учитывать процессы установки и снятия стоек, поддерживающих опалубку;

· учитывать приложение и снятие монтажных нагрузок;

· учитывать переменную прочность бетона в процессе набора прочности бетоном.

Работа с модулем «МОНТАЖ+» состоит из следующих этапов.

1. Задается конструктивная схема всего объекта и монтажные элементы по всему объекту.

2. Описываются конструктивные и монтажные элементы, входящие в каждый этап возведения. Для каждого этапа задается коэффициент снижения прочности бетона.

3. На последнем этапе задаются эксплуатационные нагрузки.

Расчет сооружений совместно с грунтовым основанием

Модель сооружения, работающего совместно с грунтовым основанием, относится к наиболее сложным моделям. Сложности возникают как при моделировании грунтового основания, так и при компьютерной реализации различных расчетных теорий.

Существуют различные модели грунтовых оснований. Каждая модель с различной точностью описывает поведение грунтов под нагрузкой и соответствует различным грунтовым условиям.

Рассмотрим различные модели грунтовых оснований.

1. Модель Винклера

Другое название модели Винклера – «клавишная модель». Эта модель является простейшей моделью, в которой игнорируются распределительные свойства основания. Предполагается, что вне площади передачи нагрузки грунт не сопротивляется внешним воздействиям (рис. 22). Вертикальный массив оказывается как бы расчленен на отдельные столбики, не связанные трением между собой. Главное достоинство модели Винклера – предельная математическая простота.

Модель Винклера лучше отображает работу грунтов в случае илистых, торфяных грунтов и мелкозернистых водонасыщенных песков.

При связанных грунтах возможно использование следующих моделей.

2. Модель в виде упругого полупространства

Основание представляется в виде изотропного (однородного) упругого тела бесконечных размеров в плане и по глубине. Упругое полупространство завышает распределительные способности грунта. В результате расчетов осадки основания оказываются меньше действительных.

3. Модель упругого слоя конечной толщины

Эта модель аналогична модели упругого полупространства, за исключением того, что область основания ограничена по толщине и размерам в плане. Упругий слой конечной толщины также завышает распределительные способности грунта, но в меньшей степени, чем упругое полупространство.

4. Модель упругого основания с двумя коэффициентами постели

В этом случае математическая постановка задачи почти не усложняется. Связь между перемещениями w упругого основания и нагрузкой R выражается зависимостью

.

Коэффициент жесткости С₁ соответствует модели Винклера, а коэффициент C₂ учитывает распределительные свойства грунта.

Эта модель позволяет рассчитывать фундаменты в виде монолитных плит как изгибаемых элементов на грунтовом основании.

Существует дискретный аналог данной модели (рис. 23). Пружины с жесткостью C₁ сопротивляются внешним воздействиям (как пружины «клавишной модели»), а пружины с жесткостью C₂ вовлекают в работу соседние участки грунта (учитываются распределительные свойства грунта).

5. Модель основания с «полубесконечными конечными элементами»

Эта модель является реализацией модели упругого основания с двумя коэффициентами постели и применяется для фундаментов, имеющих форму выпуклого многоугольника.

«Полубесконечные конечные элементы» показаны на рис. 24. Фундамент представляется в виде конечных элементов плиты. Для приведения контура фундамента к выпуклому многоугольнику возможно применение конечных элементов плиты нулевой жесткости (например, элементов нулевой толщины). Основание моделируется одно- и двухузловыми законтурными элементами грунтового основания. Они имеют конечное число узловых неизвестных и бесконечную протяженность. Эти элементы приближенно описывают поведение упругого основания за пределами плиты. Осадки основания за пределами плиты описываются экспоненциальным законом, что заставляет их асимптотически стремиться к нулю на бесконечности (рис. 25).

6. Модель «ССС»

Модель «ССС» показана на рис. 26. С неподвижным основанием связаны пружины с жесткостью С₁, моделирующие работу грунта по Винклеру. Натянутая (преднапряженная) двумерная нить или трехмерная мембрана моделирует второй коэффициент постели С₂ (вовлекает в работу непосредственно не нагруженные участки грунта). Связь с фундаментом представляется в виде винклеровых пружин с распределенной жесткостью С₃.

Математически модель выглядит также просто, как модель упругого основания с двумя коэффициентами постели.

Пусть w – перемещения низа фундаментной плиты (верха основания), v – перемещения мембраны. Тогда связь между нагрузкой R и перемещениями выглядит следующим образом:

В настоящее время в программных комплексах конечные элементы типа «ССС» не представлены.

7. Модель грунтового массива в виде плоских или трехмерных физически нелинейных конечных элементов

Принципиальная схема модели представлена на рис. 27. Обычно бесконечное полупространство грунтового массива ограничено величинами сжимаемой толщи грунта H.

При расчете сооружений совместно с грунтовым основанием решается одна из двух задач.

1. Определение напряженно-деформированного состояния как надземной конструкции, так и грунтового массива. Примером такой задачи может служить расчет зданий на воздействия подземного транспорта (метро и т. п.). Эта задача может быть решена с помощью модели 7. Внешние воздействия передаются на фундамент здания через конечные элементы грунтового основания.

Программные комплексы, реализующие модели типа 7, обязательно должны включать режим автоматической триангуляции двух- и трехмерных массивов с разряжением по направлениям к границам грунтового массива (как показано на рис. 27), а также должны обеспечивать решение нелинейных уравнений.

2. Определение напряженно-деформированного состояния надземной конструкции. Для грунтового основания достаточно вычислить давление под подошвой фундамента и максимальную осадку. В этом случае возможно использование моделей 1…6.

От программных комплексов требуется автоматическое построение модели грунтового основания по данным геологических изысканий с определением коэффициентов постели C₁, C₂, а для модели 6 – и C₃.

Расчетные сочетания нагрузок

Определение напряженно-деформированных состояний сооружений при различных сочетаниях нагрузок является одной из самых мощных возможностей программных комплексов. Это дает обильную информацию для последующих расчетов и принятия проектных решений.

Информация о возможных сочетаниях нагрузок может быть задана следующими способами.

1. Описание графа нагрузок. Все возможные пути прохода по графу от начальной точки к конечной определяют комбинации нагрузок.

2. Непосредственное описание возможных комбинаций нагрузок. Этот способ реализован в системах «SCAD», «SAP2000». Он применим, если количество комбинаций невелико, что встречается весьма редко.

3. Заполнение таблиц «РСУ» (расчетных сочетаний усилий) по типу того, как это реализовано в программных комплексах «Lira», «SCAD». Для каждой нагрузки устанавливается ее длительность действия, отмечаются при необходимости взаимоисключающие друг друга нагрузки и т. д.

Использование математического аппарата расчетных сочетаний нагрузок сопряжено со следующими особенностями.

Во-первых, расчетные сочетания нагрузок жестко привязаны к принципу суперпозиции (независимости действия нагрузок). Из-за этого расчет возможен только в линейно-упругой постановке. Если в расчетную модель входят нелинейные конечные элементы, то расчет на сочетания нагрузок лишен смысла.

Во-вторых, результатом расчетов на сочетания нагрузок является массив информации такого объема, что его осмысление и обработка представляет собой самостоятельную проблему.

Перед строительной механикой как наукой стоит задача: «Найти критерий, на основании которого можно было бы ограничить количество рассматриваемых сочетаний нагрузок до приемлемого числа». В программных комплексах «Lira», «SCAD» реализован критерий экстремальных напряжений в характерных точках сечения. При этом выбор контрольных точек – задача, решенная пока на интуитивном уровне, а не на строгом математическом.

Одним из решений данной проблемы является включение в расчетные комплексы конструирующих подсистем, которые в автоматическом режиме проверяют несущую способность и деформативность элементов на все существующие сочетания.

Задачи устойчивости

Решение задач устойчивости является неотъемлемой частью реального проектирования.

В физическом смысле решение задачи устойчивости – это проверка того, что при малом возмущении исходное состояние равновесия сохраняется, и система не приобретает качественно новых свойств (не появляются большие перемещения узлов, не появляются трещины в железобетонных элементах и т. д.).

Расчетные комплексы в режиме проверки устойчивости сооружения выдают так называемый коэффициент запаса. Вычисление коэффициента запаса происходит следующим образом.

Имея в своем распоряжении заданные проектировщиком внешние нагрузки, расчетный комплекс увеличивает их пропорционально, в k раз каждую. Минимальное (из положительных) значение k, при котором матрица жесткости системы [K] перестает быть положительно определенной, является коэффициентом запаса. Если k<1, то система потеряет устойчивость до того, как внешние нагрузки достигнут заданных значений.

Положительная определенность матрицы жесткости означает, что при любых перемещениях изменение потенциальной энергии системы будет положительным (DП>0). Следовательно, для деформирования системы необходимо затратить работу, то есть система пока оказывает сопротивление деформированию и накапливает потенциальную энергию (аналогично сжимаемой пружине).

Сравните с ситуацией отрицательной величины изменения потенциальной энергии сооружения (DП<0). В этом случае при деформировании сооружения энергия не накапливается, а освобождается в виде обрушения конструкций.

Вычисляемый коэффициент запаса по устойчивости говорит о том, во сколько раз должны быть увеличены внешние нагрузки пропорционально, чтобы система потеряла устойчивость. Но ситуация, при которой все нагрузки увеличиваются одновременно, и при этом пропорционально, невозможна. Например, собственный вес не может увеличиться!

Несмотря на столь очевидное поведение нагрузок, независимое изменение различных нагрузок при расчетах на устойчивость в программных комплексах, как правило, не предусмотрено.

В любой системе можно выделить нагрузки, увеличение которых наиболее неблагоприятно. Рассмотрим, например, водонапорную башню, схема которой изображена на рис. 28, а. Для анализа устойчивости водонапорной башни уместна аналогия с шариком, лежащим на поверхности (рис. 28, б). Увеличение уровня воды равносильно увеличению веса шарика, и его вес может увеличиваться до тех пор, пока выдерживает основание, на котором он находится (или колонна, на которой смонтирован резервуар для воды). Воздействие ветра на башню аналогично отклонению шарика по горизонтали. Это отклонение возможно только в пределах расстояния b. Если шарик выйдет за интервал b, то он перейдет в неустойчивое состояние и скатится с поверхности. Неустойчивое состояние для водонапорной башни показана на рис. 28, в. Система приобрела новое качество – эксцентриситет приложения веса воды относительно колонны – и разрушилась.

В практических расчетах необходимо вычислить горизонтальное перемещение резервуара от воздействия ветра, и проектировать колонну при внецентренном загружении весом резервуара с водой. Тем самым как бы увеличивается безопасный интервал b.

Роль дополнительных связей в задачах устойчивости

Обычно дополнительные связи вводятся в расчетную модель с целью уменьшить перемещения узлов системы и благоприятным образом перераспределить усилия в элементах.

Точка зрения о положительной роли дополнительных связей широко распространена и редко обсуждается. Однако, в задачах устойчивости при установке дополнительных связей необходимо соблюдать важное условие: дополнительные связи не должны менять то состояние равновесия, устойчивость которого проверяется. При этом также должна сохраняться качественная картина распределения внутренних усилий.

Пример установки связи, ухудшающей устойчивость системы, приведен на рис. 29. В первом случае (рис. 29, а) в системе отсутствуют сжатые элементы, и она является устойчивой. При установке дополнительной связи возможна потеря устойчивости так, как это показано на рис. 29, б.

Задачи динамики

Задачи динамики при проектировании объектов строительства встречаются достаточно часто. Эти задачи приходится решать, например, при установке на строительных конструкциях технологического оборудования с динамическими нагрузками, при расчете сооружений с учетом пульсаций ветра, при проектировании сооружений в сейсмических районах и т. д.

Динамические расчеты отличаются рядом особенностей как в построении расчетной модели, так и при анализе результатов расчетов. Рассмотрим некоторые особенности.

1. Расчетная модель сооружения чаще всего принимается проектировщиками такой же, как и при статическом расчете. Как правило, из расчетной модели удаляются элементы, которые при статическом расчете мало влияют на сопротивление каркаса (перегородки, ограждающие конструкции и т. д.). Однако, при анализе динамического поведения системы это может привести к ошибкам в определении величин частот собственных колебаний, от которых зависят динамические нагрузки, действующие на сооружение.

2. Как известно, для статических расчетов при определении жесткостных характеристик сечений принимаются секущие модули упругости материалов. Модули упругости многих строительных материалов при динамическом расчете должны приниматься не такими, как при статическом расчете. Для сооружений с не очень большими собственными частотами динамический модуль упругости приблизительно равен касательному модулю упругости.

3. Большинство расчетных программ оперирует с осредненными по всему сооружению характеристиками диссипации (диссипация – потери энергии колебаний сооружения из-за внутреннего трения в материалах и конструкционного демпфирования). Примером может служить логарифмический декремент колебаний d=ln(A_i/A_i+1), где A_i и A_i+1 – две последовательные амплитуды колебаний, измеренные с интервалом времени в один период (рис. 30). Такой подход может быть оправдан, если сооружение выполнено из одного материала с примерно одинаковыми конструктивными решениями.

Одним из методов решения динамических задач является известный метод Фурье разложения по формам собственных колебаний. Перемещения узлов и усилия в элементах системы должны вычисляться по формуле

,

где S_i – усилие (перемещение), соответствующее i-й форме собственных колебаний, w – частота изменения возмущающей силы, t – время, j_i – величина сдвига фаз между возмущающей силой и реакцией конструкции.

Вторая и третья особенности наиболее сильно сказываются на величине j_i. Существующие теории не позволяют с достаточной точностью предсказать величины j_i для более-менее сложных сооружений. Вследствие этого многие исследователи считают возможным принять j за случайную величину, которая с одинаковой вероятностью может принять любое значение на интервале 0°…180°. В этом случае, согласно теории вероятностей и математической статистике, наиболее вероятно появление усилия (перемещения) величиной

.

(7)

Именно последняя формула реализована во многих вычислительных комплексах. Вычисление усилий и перемещений по формуле (7) в англоязычной литературе имеет название SRSS-метод.

Использование формул типа (7) приводит к эффекту потери знака. Для борьбы с этим явлением в некоторых программных комплексах знак S принимается по знаку S₁, то есть по усилию (перемещению) в первой форме собственных колебаний. В практических расчетах можно учитывать ±S.

Рассмотрим еще одну особенность.

4. Современные сооружения иногда имеют такие большие размеры, что время распространения возмущения оказывается сопоставимым с периодами собственных колебаний. В этом случае необходимо учитывать процесс передачи возмущения, то есть исследовать волновые процессы и решать уравнения движения механической системы. Серьезные вычислительные комплексы должны предусматривать такую возможность.

Анализ и интерпретация результатов

Анализ и интерпретация результатов расчетов является не менее важной частью проектирования, чем создание расчетной модели.

Анализ полученных данных проводится с двух точек зрения. Во-первых, анализируется достоверность результатов, во-вторых, оценивается правильность и рациональность принятых проектных решений. Рассмотрим основные принципы анализа результатов.

Анализ достоверности результатов

Проведению хорошего расчета сложной конструкции могут помешать следующие факторы:

· недостаточная опытность пользователя;

· неполная информация об особенностях программы (например, о свойствах примененных конечных элементов);

· ограничение на время выполнения расчетов.

Опыт проектирования говорит о том, что ошибки в исходных данных не иссякают по мере совершенствования программ. Ошибки пользователя можно разделить на формальные и содержательные.

Большинство формальных ошибок обнаруживает программный комплекс (например, если не задано сечение элемента, то программный комплекс об этом предупредит при попытке расчета модели). Развитые возможности визуализации способствуют устранению неточностей уже на стадии создания модели.

Содержательные ошибки обнаружить значительно сложнее. Большинство содержательных ошибок обнаруживается при анализе результатов. Например, если при расчете шарнирно опертой балки получена эпюра изгибающих моментов, показанная на рис. 31, это означает, что была допущена ошибка при описании левой опоры балки.

Существует ряд стандартных приемов, помогающих пользователю в анализе результатов.

1. Анализ порядка усилий, напряжений, перемещений. Слишком большие или маленькие величины усилий в каких-либо элементах являются сигналом проектировщику о том, что расчетная модель, возможно, не соответствует проектируемому объекту.

2. Анализ значений усилий, напряжений, перемещений для симметричных расчетных схем. Например, расчет рамы из курсового проекта №2 по металлическим конструкциям на нагрузки от собственного веса и снега должен давать симметричные результаты относительно оси симметрии рамы.

3. Установление соответствия результатов расчетов представлениям проектировщика о работе конструкции. Эффективность этого приема увеличивается постепенно, по мере возрастания практического опыта проектировщика. В любом случае можно использовать упрощенные модели для сравнения результатов. Например, перемещения верхних узлов рамы, показанной на рис. 32, а, не должны значительно отличаться от перемещений верхнего узла колонны, показанной на рис. 32, б.

Анализ общей картины деформирования системы может выявить, например, неправильно установленные закрепления, резкое изменение жесткостей и т. д.