Математические основы векторной графики

В основе векторной графики лежат математические представления о свойствах геометрических фигур. Как мы сказали выше, про­стейшим объектом векторной графики является линия. Поэтому в основе векторной графики лежит, прежде всего, математическое представление линии. Рассмотрим подробнее способы представления различных объектов в векторной графике.

Точка

Точка на плоскости задается двумя числами (х, у), указывающими ее положение относительно начала координат.

Прямая линия

Известно, что для задания прямой линии достаточно двух параметров. Обычно график прямой линии описывается уравнением у = kx + b. Зная параметры k и b, всегда можно нарисовать бесконечную прямую линию в известной системе координат.

Отрезок прямой

Для задания отрезка прямой надо знать еще пару параметров, например координаты х₁ и х₂ начала и конца отрезка, поэтому для описания отрезка прямой линии необходимы четыре параметра: параметры k и b уравнения прямой и координаты начала и конца отрезка х₁ и х₂.

Кривая второго порядка

К кривым второго порядка относятся параболы, гиперболы, эллипсы, окружности и другие линии, уравнения которых не содержат степеней не выше второй. Прямые линии – это частный случай кривых второго порядка. Отличаются кривые второго порядка тем, что не имеют точек перегиба. Самая общая формула кривой второго порядка может выглядеть, например, так:

х² + а₁ у² + а₂ х у + а₃ х + а₄ у + а₅ = 0

Как видите, пяти параметров вполне достаточно для описания бесконечной кривой второго порядка. Для записи отрезка кривой второго порядка необходимо на два параметра больше.

Кривая третьего порядка

Отличительная особенность этих более сложных кривых состоит в том, что они могут иметь точку перегиба. Если вы знакомы с графиком функции у = х³, то конечно видели тот перегиб, который происходит в начале координат. Кривые третьего порядка хорошо соответствуют тем линиям, которые мы наблюдаем в живой природе, например, линиям изгиба человеческого тела, поэтому в качестве основных объектов векторной графики используют имен­но такие линии. Все прямые и кривые второго порядка (например, окружности или эллипсы) являются частными случаями кривых третьего порядка.

В общем случае уравнение кривой третьего порядка можно записать так:

х^з + а₁ у^з + а₂ х² у + а₃ х у²+ а₄ х²+ а₅ у²+ а₆ х у + а₇ х + а₈ у + а₉ = 0

Видно, что для записи кривой третьего порядка достаточно девяти параметров. Для задания отрезка кривой третьего порядка, надо иметь на два параметра больше.

Кривые Безье

Рисовать кривую третьего порядка по заданным коэффициентам ее уравнения - занятие не слишком интересное. Для упрощения этой утомительной процедуры в векторных редакторах применяют не любые кривые третьего порядка, а их особый вид, называемый кривыми Безье. Это особый, упрощенный вид кривых третьего порядка.

Контуры состоят из одного или нескольких смежных сегментов, ограниченных узлами (см. рис.).

Сегменты могут иметь прямолинейную или криволинейную форму в зависимости от типа ограничивающих его узлов.

Метод построения кривой Безье (Bezier) основан на использовании пары касательных, проведенных к отрезку линии в ее окончаниях. Отрезки кривых Безье – это частный случай отрез­ков кривых третьего порядка. Отрезки кривых Безье описываются не одиннадцатью параметрами, как произвольные отрезки кривых третьего порядка, а лишь восемью параметрами, поэтому работать с ними удобнее. На форму линии влияет угол наклона касательной и длина ее отрезка. Таким образом, касательные играют роль виртуальных “рычагов”, с помощью которых линию изгибают так, как это необходимо. На форму линии влияет не только угол наклона касательной, но и длина ее отрезка. Управление касательной (а вместе с ней и формой линии) производят перетаскиванием маркера с помощью мыши.

Большинство векторных редакторов для изображения и хранения кривых линий используют именно кривые Безье.