русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Транзитивное замыкание


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 3097; Нарушение авторских прав


Сравнение алгоритмов Флойда и Дейкстры

Листинг 4.2.2. Процедура печати кратчайшего пути

Листинг 4.2.1. Реализация алгоритма Флойда

procedure Floyd( var A: array[1..n, 1..n] of real; С: array[l..n, 1..n] of real);

var

i, j, k: integer;

begin

for i: = 1 to n do

for j: = 1 to n do begin

A[i, j] := C[i, j];

P[i, j] := 0;

end;

for i := 1 to n do

A[i , i] := 0;

for k: = 1 to n do

for i: = 1 to n do

for j: = 1 to n do

if A[I,k] + A[k, j] < A[I, j] then begin

A[I, j] := A[I, k] + A[k, j];

P[I, j] := k;

end;

end; { Floyd}

 

Для вывода на печать последовательности узлов, составляющих кратчайший путь от узла до узла , вызывается процедура path(i,j), код которой приведен в листинге 4.2.2.

procedure раth ( i, j: integer );

var

k: integer ;

begin

k:= P[i, j];

if k = 0 then

return;

path(i, k);

writeln(k);

path(k, j)

end; { path }

 

Ввиду наличия трех вложенных циклов (см. листинг 4.2.1), временная сложность алгоритма Флойда равна .

Поскольку версия алгоритма Дейкстры с использованием матрицы смежности находит кратчайшие пути от одного узла за время порядка , то в этом случае применение алгоритма Дейкстры для нахождения всех кратчайших путей потребует времени порядка , т.е. получим такой же временной порядок, как и в алгоритме Флойда.

Константы пропорциональности в порядках времени выполнения для обоих алгоритмов зависят от применяемых компилятора и вычислительной машины, а также от особенностей реализации алгоритмов. Вычислительный эксперимент и измерение времени выполнения — самый простой путь подобрать лучший алгоритм для конкретного приложения.

Если , количество дуг в орграфе, значительно меньше, чем , тогда, несмотря на относительно малую константу в выражении порядка для алгоритма Флойда, целесообразно применять версию алгоритма Дейкстры со списками смежности. В этом случае время решения общей задачи нахождения кратчайших путей имеет порядок , что значительно лучше алгоритма Флойда, по крайней мере, для больших разреженных графов.




 

Во многих задачах интерес представляет только сам факт существования пути, длиной не меньше единицы, от узла до узла . Алгоритм Флойда можно приспособить для решения таких задач. Полученный в результате алгоритм еще до Флойда разработал Уоршелл (S. Warshall), поэтому его также называют алгоритмом Уоршелла.

Предположим, что матрица стоимостей совпадает с матрицей смежности для данного орграфа , т.е. только в том случае, если есть дуга , и , если такой дуги не существует. Требуется вычислить матрицу такую, что тогда и только тогда, когда существует путь от узла до узла длиной не менее 1 и — в противном случае. Такую матрицу часто называют транзитивным замыканием матрицы смежности.

Транзитивное замыкание можно вычислить с помощью процедуры, подобной Floyd, применяя на k-м шаге следующую формулу к булевой матрице :

.

Эта формула устанавливает, что существует путь от узла до узла , проходящий через узлы с номерами, не превышающими , только в следующих случаях.

1. Уже существует путь от узла до узла , который проходит через узлы с номерами, не превышающими .

2. Существует путь от узла до узла , проходящий через узлы с номерами, не превышающими , и путь от узла до узла , который также проходит через узлы с номерами, не превышающими .

Здесь, как и в алгоритме Флойда, и , то есть на -й итерации элементы матрицы , стоящие в -й строке и -м столбце, не изменяются. В отличие от алгоритма Флойда, для поиска пути длиной не меньше 1 от узла до узла на каждой итерации производится пересчет в том числе и диагональных элементов матрицы А.

Пример.Последовательные итерации при получении А3 - транзитивного замыкания матрицы смежности орграфа из рис. 4.2.3.

A0   A1
 
 
 
A2   A3  
   
   
   

 

Программа Warshall вычисления транзитивного замыкания показана в листинге 4.2.3.


Листинг 4.2.3. Программа Warshall для вычисления транзитивного замыкания

procedure Marshall ( var A: array[l..n, l..n] of boolean; C: array[l..n, l..n] of boolean );

var

i, j, k: integer;

begin

for i:= 1 to n do

for j-.= 1 to n do

A[i, j]:= C[i, j];

for k:= 1 to n do

for i:= 1 to n do

for j:= 1 to n do

if A[i, j] = false then

A[i, j] := A[i, k] and A[k, j]

end; { Warshall }

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Вычисление весов кратчайших путей в восходящем порядке | Определения и свойства.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.002 сек.