Алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее общий алгоритм перевода числа X₍_k₁₎ с основанием k₁ в число X₍_k₂₎ с основанием k₂ выполняется в следующей последовательности:

- число X₍_k₁₎представляют в виде степенного ряда;

- заменяют цифры х_i с основанием k₁ их k₂-ми представлениями;

- выполняют все операции сложения, умножения, возведение в степень в k₂-й СС;

- с учетом точности определяют число целых и дробных цифр в числе X₍_k₂₎, округляют и представляют по необходимости X₍_k₂₎ в виде степенного ряда.

Рассмотрим общий алгоритм перевода чисел на примере числа X₍₂₎= 1001,101, которое переведем в Х_{(10) .}

1001,101 = 1×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 1×2^-1 + 0×2^-2 + 1×2^-3 =

=8 +1 + 1/2 + 1/8 = 9,625_{(10) .}

Однако применение этого алгоритма в случае k₁ > k₂ связано с громоздкими вычислениями, например, Х₍₁₀₎ = 36 переведем в Х_{(2) .}

36₍₁₀₎ = 3×10¹ + 6×10⁰ = (0011)×(1010)¹ + (0110)×(1010)⁰ = 100100_{(2) .}

Поэтому для перевода числа из 10 СС в 2 СС при k₁ > k₂ целую и дробную часть переводят отдельно по упрощенным алгоритмам. Для перевода целой части числа X_(k1) отделяют у него целую часть Х^ц_(k1) и делят его на основание k₂ в k₁-ой СС. В результате деления получают остаток О₀ и частное Ч₁. Если частное Ч₁ ³ k₂, его делят вновь Ч₁/k₂. Получают остаток О₁ и частное Ч₂. Деление частного продолжают до тех пор, пока на i-ом шаге не будет получен остаток О_i_-1 и частное Ч_i < k₂. Последнее частное принимается за цифру х_i, а цифры x_i_-1, …, x₀ определяются соответствующими остатками О_i_-1, …, О₁, О₀. Располагая цифры в порядке Ч_i О_i_-1 … О₀, получают целую часть числа Х_(k2).

Для определения дробной части числа Х_(k2) берут дробную часть Х^д_(k1) числа Х_(k1) и умножают ее на основание k₂ по правилам k₁ СС. В результате первого умножения получают целую часть произведения Ц₁и дробную часть D₁. На втором шаге вновь берут дробную часть 0, D₁ и умножают на основание k₂. Умножение дробных частей продолжают до n-го шага Ц_n, D_n, пока не будет достигнута необходимая точность представления дроби. Приравнивая x_-i = Ц_i получают значение дроби Х^д_(k2) =, x_-1 x_-2 … x_-n. Рассмотрим алгоритм раздельного перевода целой и дробной части числа на примере. Пусть Х₍₁₀₎ = 20,4 необходимо перевести в двоичную СС. Тогда процесс перевода числа можно показать как деление (слева) и умножение (справа) по шагам:

1)
			10 = Ч₁	0,4 ´ 2 = 0,8 (Ц ₁ = 0);
		О₀ = 0
2)	10/2 = 5 (Ч₂ = 5, О₁ = 0)		0,8 ´ 2 = 1,6 (Ц ₂ = 1);
3)	5/2 = 2 (Ч₃ = 2, О₂ = 1)		0,6 ´ 2 = 1,2 (Ц ₃ = 1);
4)	2/2 = 1 (Ч₄ = 1, О₃ = 0)		0,2 ´ 2 = 0,4 (Ц ₄ = 0).

При переводе дробной части числа 20,4 умножение может быть продолжено на любое число шагов, т. к. величину 0,4₍₁₀₎ нельзя точно представить в 2 СС. Ограничиваясь числом шагов, получим

Х^ц_(k2)= х₄ х₃ х₂ х₁ х₀, = Ч₄О₃О₂О₁О₀, = 10100,

Х^д_(k2)=, х _-1 х _-2 х _-3 х _-4 =, Ц ₁ Ц ₂Ц ₃ Ц₄ =, 0110 …

20,4₍₁₀₎ » 10100,0110₍₂₎

Учитывая, что основания четверичной, восьмеричной, шестнадцате- ричной СС кратны основанию двоичной, перевод чисел из этих СС в двоичную и обратно упрощен. Для перевода чисел из четверичной, восьмеричной, шестнадцатеричной СС в двоичную СС цифры в этих числах заменяются двумя, тремя, четырьмя разрядными двоичными эквивалентами слева и справа от запятой

123,02₍₄₎ =			3,		2₍₄₎	= 11011,001 ₍₂₎
		11,		10₍₂₎

621,34₍₈₎ =			1,			= 110010001,0111₍₂₎
		001,

9Е,1D₍₁₆₎ =		E,		D		= 10011110,00011101_(2).
	1110,

При переводе из двоичной СС в четверичную, восьмеричную, шестнадцатеричную СС цифры двоичной системы соответственно объединяются в группы по две, три, четыре цифры слева и справа от запятой, а затем эти группы заменяются на эквивалентные цифры четверичной, восьмеричной, шестнадцатеричной СС. Например, число 1101101011,11₍₂₎ будет преобразовано

		3,	= 31223,3_(4);
		11,

	3,		= 1553,6_(8);
	011,

В,	С		= 36В,С₍₁₆₎.
1011,