Вычисление конечных сумм и произведений

Решение многих задач связано с нахождением суммы или произведения элементов заданной последовательности. В данном разделе мы рассмотрим основные приемы вычисления конечных сумм и произведений.

Пусть - произвольная последовательность n функций. Будем рассматривать конечную сумму вида . Такую сумму можно записать более компактно, используя следующее обозначение: . При значение суммы равно 0.

В дальнейшем будем также использовать сокращенную запись для конечного произведения данной последовательности, которая выглядит следующим образом: .

1. Написать программу, которая подсчитывает сумму натуральных чисел от до ().

Указания по решению задачи. Пусть - сумма натуральных чисел от до . Тогда Мы пришли к рекуррентному соотношению , которым мы можем воспользоваться для подсчета суммы. Соотношение говорит о том, что сумма на -ном шаге равна сумме, полученной на предыдущем шаге, плюс очередное слагаемое.

static void Main(){ Console.Write("Ввведите значение n: "); int n=int.Parse(Console.ReadLine()); int s=0; for (int i=1; i<=n; ++i) s+=i; Console.WriteLine("s="+s);}

2. Написать программу, которая подсчитывает для вещественного и натурального .

Указание по решению задачи. Из свойства факториала , , . Следовательно, факториал можно вычислять, используя рекуррентное соотношение .

static void Main(){ Console.Write("Ввведите значение n: "); int n=int.Parse(Console.ReadLine()); int f=1; for (int i=1; i<=n; ++i) f*=i; Console.WriteLine("{0}!={1}", n, f);}

Написать программу для подсчета суммы , где - вещественное число, - натуральное число.

Указания по решению задачи. Если пронумеровать слагаемые, начиная с , то мы увидим, что номер слагаемого совпадает со значением знаменателя. Рассмотрим каждый числитель отдельно: Эту последовательность можно представить рекуррентным соотношением (1). Теперь сумму можно представить следующим образом, , а для нее справедливо рекуррентное соотношение , (2). При составлении программы будем использовать формулы (1-2).

static void Main(){ Console.Write("Ввведите значение n: "); int n=int.Parse(Console.ReadLine()); Console.Write("Ввведите значение x: "); double x=double.Parse(Console.ReadLine()); double b=0, s=0; for (int i=1; i<=n; ++i) { b+=Math.Cos(i*x); s+=b/i; } Console.WriteLine("s={0:f2}",s);}

Написать программу для подсчета суммы , где - вещественное число, - натуральное число.

Указания по решению задачи. Перейдем от сокращенной формы записи к развернутой, получим

Каждое слагаемое формируется по формуле . Если в эту формулу подставить , то получим .

Чтобы не вводить несколько рекуррентных соотношений (отдельно для числителя, отдельно для знаменателя), представим общий член последовательности слагаемых с помощью рекуррентного соотношением вида , где для нас пока не известно. Найти его можно из выражения . Произведя необходимые расчеты, получим, что . Следовательно, для последовательности слагаемых мы получили рекуррентное соотношение , (3). А всю сумму, по аналогии с предыдущими примерами, можно представить рекуррентным соотношением: , (4). Таким образом, при составлении программы будем пользоваться формулами (3-4).

using System; namespace Hello{ class Program { static void Main() { Console.Write("Ввведите значение n: "); int n=int.Parse(Console.ReadLine()); Console.Write("Ввведите значение x: "); double x=double.Parse(Console.ReadLine()); double a=-1, s=0; for (int i=1; i<=n; ++i) { a*=-x/i; s+=a; } Console.WriteLine("s={0:f2}",s); } }}