Упорядоченным множеством (или кортежем) называется последовательность элементов, то есть совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Сами элементы — компоненты кортежа.
Пример 1. Множество людей, стоящих в очереди, множество слов в фразе, алфавит. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определенным и не может быть произвольно изменено.
Число элементов кортежа называется его длиной. Обозначают кортеж скобками «< >», иногда круглыми «( )». А=<a1, a2, ..., an>. Кортежи длины 2 называются упорядоченными парами, 3 — тройками, n-ками.
Частный случай: кортеж длины 1 — <a>
кортеж длины 0 — < > или ∧ — пустой кортеж.
Отличие кортежа и обыкновенного множества: в кортеже могут быть одинаковые элементы.
Упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа, будем называть векторами или точками пространства (n-мерного).
Так, кортеж <a1, a2> может рассматриваться как точка на плоскости или вектор, проведенный из начала координат в данную точку. Тогда компоненты a1, a2 — проекции вектора на оси 1 и 2.
Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядоченное n-элементное множество вещественных чисел (a1, ..., an) как точку в воображаемом n–мерном пространстве (иногда называемом гиперпространством), или как n-мерный вектор. При этом компоненты n-элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на соответствующие оси.
Прi a = ai, i=1,2,...,n
Прi,j,...,l a = <ai, aj, ..., al>, i=1,2,...,n
Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны.
<a1, ..., am> = <b1, ..., bn> ⇔ m = n и a1 = b1, b1 = b2, ...
Компонентами кортежа (вектора) могут быть также компоненты кортежи (векторы):
Пример. Слова в предложении,
A = < <a1, a2>, <a1, a3>, <a2, a3> >
Прямым (декартовым) произведением множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству Y.
Формально: X*Y = {<x,y>: x∈X, y∈Y}
Пример 2. Пусть X=<1,2>, Y=<1,3,4>
Тогда X*Y={<1,1>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,4> } См. рис. а).
Пример 3. Пусть X и Y — отрезки вещественной оси. Прямое произведение X*Y изображается заштрихованным прямоугольником. См. рис. б).
Прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей т.е.
X*Y ≠ Y*X
Прямое произведение множеств X1, X2, ..., Xn — это множество, обозначаемое X1*X2*...*Xn и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, правая компонента которых принадлежит X1, вторая — X2 и т.д.
Очевидно X*Y = ∅ ⇔ X = ∅ или Y = ∅.
Аналогично X1*X2*...*Xn = ∅ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множеств X1, X2, ..., Xn является пустым.
Частным случаем прямого произведения является понятие степеней (декартовых) множества — прямое произведение одинаковых множеств
Ms=M*M*...*M, M1=M, M0=∧.
Обычно R — множество вещественных чисел, тогда R2=R*R — вещественная плоскость и R3=R*R*R — трехмерное вещественное пространство.
Пример. A={a,b,c,d,e,f,g,h}, B={1,2,3, ...,8}
Тогда A*B ={a1, a2, a3, ..., h7, h8} — множество обозначающее все 64 клеток шахматной доски.
Пример. Пусть A — конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества обычно называют алфавитами. Элементы множества an называются словами длины n в алфавите A. Множество всех символов в алфавите A — это множество A* = ∪Ai = A1∪A2∪A3... . При написании слов не принято пользоваться ни запятыми, ни скобками, ни разделителями.
СЛОВО ⇔ <С,Л,О,В,О>
Теорема. Пусть a1, a2, ..., an — конечные множества и |a1| = m1, |a2|=m2, ..., |an|=mn. Тогда мощность множества a1*a2*a3*...*an равна произведению мощностей a1, a2, ..., an
