Примеры игр

Уменьшение порядка платежной матрицы

Порядок платежной матрицы (количество строк и столбцов) может быть уменьшен за счет исключения доминируемых и дублирующих стратегий.

Стратегия K* называется доминируемой стратегией K**, если при любом варианте поведения противодействующего игрока выполняется соотношение

A_k* < A_k**,

где A_k* и A_k** — значения выигрышей при выборе игроком, соответственно, стратегий K* и K**.

В случае, если выполняется соотношение

A_k* = A_k**,

стратегия K* называется дублирующей по отношению к стратегии K**.

Например, в матрице с доминируемыми и дублирующими стратегиями стратегия A₁ является доминируемой по отношению к стратегии A₂, стратегия B₆ является доминируемой по отношению к стратегиям B₃, B₄ и B₅, а стратегия B₅ является дублирующей по отношению к стратегии B₄.

Таблица — Платежная матрица с доминируемыми и дублирующими стратегиями

Данные стратегии не будут выбраны игроками, так как являются заведомо проигрышными и удаление этих стратегий из платежной матрицы не повлияет на определение нижней и верхней цены игры, описанной данной матрицей.

Множество недоминируемых стратегий, полученных после уменьшения размерности платежной матрицы, называется еще множеством Парето.

1. Игра «Цыпленок»

Игра «Цыпленок» заключается в том, что игроки вступают во взаимодействие, которое ведет в нанесению серьезного вреда каждому из них, пока один из игроков не выйдет из игры. Пример использования этой игры — взаимодействие автотранспортный средств, например, ситуации, когда два автомобиля идут навстречу друг другу, и тот, который первым сворачивает в сторону, считается «слабаком» или «цыпленком». Смысл игры заключается в создании напряжения, которое бы привело к устранению игрока. Подобная ситуация часто встречается в среде подростков или агрессивно настроенных молодых людей, хотя иногда несет в себе меньший риск. Еще одно из применений этой игры — ситуация, в которой две политические партии вступают в контакт, при котором они не могут ничего выиграть, и только гордость заставляет их сохранять противостояние. Партии медлят с уступками до тех пор, пока не дойдут до финальной точки. Возникающее психологическое напряжение может привести одного из игроков к неправильной стратегии поведения: если никто из игроков не уступает, то столкновение и фатальная развязка неизбежны.

Платежная матрица игры выглядит следующей:

2. Игра «коршун и голубь»

Игра «коршун и голубь» является биологическим примером игры. В этой версии двое игроков, обладающих неограниченными ресурсами, выбирают одну из двух стратегий поведения. Первая («голубь») заключается в том, что игрок демонстрирует свою силу, запугивая противника, а вторая («коршун») — в том, что игрок физически атакует противника. Если оба из игроков выбирают стратегию «коршуна», они сражаются, наносф друг другу увечья. Если один из игроков выбирает стратегию «коршуна», а второй «голубя» — то первый побеждает второго. В случае, если оба игрока — «голуби», то соперники приходит к компромиссу, получая выигрыш, который оказывается меньше, чем выигрыш «коршуна», побеждающего «голубя», как это следует из платежной матрицы этой игры.

Здесь V — цена соглашения, C — цена конфликта, причем V<C.

В игре «коршун и голубь» есть три точки равновесия по Нэшу:

1. первый игрок выбирает «коршуна», а второй «голубя».
2. первый игрок выбирает «голубя», а второй «коршуна».
3. оба игрока выбирают смешанную стратегию, в которой «коршун» выбирается с вероятностью p, а «голубь» — с вероятностью 1-p.