Условная относительная энтропия (УОЭ) между РС и PS, принадлежащих одному алфавиту Х, зависимая от переменной Y, определяется в виде

Рассмотрим влияние некоторой дополнительной информации на распределения контейнеров и стего и, соответственно, на стойкость стегосистемы. Пусть некоторые внешние события влияют на распределение контейнеров, например, выпуски новостей или погоды в известной “задаче заключенных”. Эта дополнительная информация обозначается Y и известна всем участникам. Соответственно изменим нашу модель и определение стойкости. Определим средние вероятности вида для ошибки 1 рода и для ошибки 2 рода, где a (y) и b (y) означают, соответственно, величину вероятностей ошибок 1 и 2 рода для Y= y.

Из этого следует, что вероятность пассивного состояния Алисы должна быть во много раз больше вероятности ее активного состояния, и что используемых контейнеров с учетом их модификаций должно быть во много раз больше скрываемых сообщений. Перефразируя известную поговорку, можно сказать, что иголку более надежно можно спрятать от чужих глаз в большом стоге сена, чем в маленьком.

Таким образом, если Алиса собирается передавать N скрываемых сообщений под прикрытием контейнеров, то вероятность того, что Ева угадает, что произвольный контейнер содержит вложенную информацию не может быть меньше величины N/. Если стегосистема совершенна, то вероятность угадывания нарушителем факта передачи скрываемого сообщения строго равна этой величине.

N/+ (–N)/= 1.

Теорема 2: Если стегосистема является e-стойкой против пассивного нарушителя, то вероятность b необнаружения факта скрытой связи и вероятность a ошибочного установления факта скрытой связи удовлетворяют неравенству d (a,b) £ e. В частном случае, если a = 0, то b ³ 2–e .

Используя эту лемму, в работе [3] доказывается следующая теорема.

Это соотношение может использоваться в следующем виде: пусть d есть верхняя граница D (PQс || PQs) и задана верхняя граница вероятности a. Тогда выражение (4.5) дает нижнюю границу вероятности b. Например, при a = 0 значение ошибки b ³ 2–d.

Так как различение между гипотезами HC и HS есть частная форма преобразования, вероятности ошибок a и b удовлетворяют неравенству

D (PTс || PTs) £ D (PQс || PQs).

Где qc, qs Î Q, tc, ts Î T. Тогда справедливо выражение

Лемма 1: Пусть РQс и РQs описывают вероятностные распределения контейнеров и стего, соответственно, над множеством наблюдений Q. Детерминированное отображение f преобразует множество наблюдений Q в множество наблюдений T вида

f:Q®T, t_c = f(q_c), t_s = f(q_s),

d (a,b) £ D (P_Qс || P_Qs). (4.5)

Пусть Алисе разрешается передать Бобу цифровое изображение С. Используя модель чувствительности зрения, она может сформировать множество С эквивалентных изображений, которые визуально неразличимы от исходного С. Независимо от того, активна Алиса или нет, она передает выбранное изображение из множества С. Пусть Алиса и Боб заранее договорились, какой модификации изображения соответствует каждое из скрываемых сообщений. Формально это означает, что в стегосистеме каждому из изображений С_j, где j=1,2,…, , по секретному ключу ставится в соответствие или одно из скрываемых сообщений М_j, где j=1,2,…, N, и N < , или отсутствие скрываемого сообщения для – N случаев. Если данное соответствие построено равновероятно и независимо для множества контейнеров и скрываемых сообщений, то при неразличимости распределений контейнеров и стего нарушитель Ева, наблюдая за информационным обменом между Алисой и Бобом, потенциально не способна получить больше той информации, которой обладала априори. Так как по определению Еве известны статистические характеристики всех множеств, входящих в стегосистему, то она априори знает, что вероятность активного состояния Алисы равна N/, а вероятность отсутствия передачи скрываемой информации равна (–N)/. Активное и пассивное состояния Алисы составляют полную группу событий, следовательно,

(4.6)