Задачи и упражнения

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое математическая модель?
2. Что такое линеаризация, идентификация, оценка адекватности и чувствительности модели?
3. Что такое вычислительный или компьютерный эксперимент? В чем особенности компьютерного моделирования по сравнению с математическим моделированием?

По приведенным ниже моделям: выписать соответствующую дискретную модель (если приведена непрерывная модель) или непрерывную модель (если приведена дискретная модель); исследовать модель в соответствии с поставленной целью (получить решение, проверить его единственность, устойчивость, наличие стационарного решения); составить алгоритм моделирования; модифицировать модель или разработать на ее основе новую; сформулировать несколько реальных систем, описываемых моделью; линеаризовать и идентифицировать модель (предложить подходы); сформулировать несколько возможных сфер применения моделей и результатов, полученных при ее исследовании; определить тип, входное и выходное множество модели.

1. Концентрация вещества, поступающего в реку со стоком, изменяется в результате действия рассеивания, адвекции, реакции. Концентрация х_i вещества в реке зависит только от расстояния i, i=0,1,:, n по течению реки и определяется по формуле: ab(x_i+1-2x_i+x_i+1)-c(x_i-x_i-1)-dax_i=0, где а - площадь поперечного сечения реки, b - коэффициент рассеивания по течению реки, с - полный объемный расход реки, d - скорость разложения органического вещества. Эти величины a, b, c, d считаются пока постоянными. Общий поток вещества определяется: N=cx_i-ab(x_i+1-x_i). Цель моделирования - прогноз загрязнения реки (для каждого i).
2. Пусть x(t) - величина ресурса (вещественного, энергетического или информационного), а(х) - скорость его возобновления, у(t) - величина потребителя (плотность), b=b(x,y) - скорость потребления ресурса потребителем, причем эксперименты показывают, что часто b=b(x). При этих условиях модель баланса ресурса имеет вид: x'(t)=a-by(t), x(0)=m, y'(t)=cby(t)-dy(t), y(0)=n, где с - к.п.д. переработки ресурса для нужд потребителя (например, в биомассу потребителя), d - коэффициент естественной убыли потребителя. Функция b=b(x), обладающая свойствами: а) b(x) - монотонна, т.е. растет или убывает, b'(x)>0 или b'(x)<0; б) b(0)=0 (в начальный момент трофическая функция равна нулю); в) b(x) - ограничена (т.е. скорость потребления ресурса ограничена) называется трофической функцией потребителя. Если а=0 - ресурс не возобновляем, иначе - возобновляем с постоянной скоростью а. Рассмотреть социально-экономическую интерпретацию одной модели. Цель моделирования: а) прогноз потребления; б) прогноз переработки; в) идентификация к.п.д. при различных аналогах трофической функции.
3. Пусть рынок некоторых товаров определен в виде клеточного поля. Некоторые клетки поля вначале считаются занятыми (продавцами). Ближайшие к занятым клеткам свободные (граничащие) клетки образуют периметр кластера продавцов (кластер может состоять также только из одного продавца). Ячейки периметра с вероятностью (с частотой) р занимаются новыми продавцами до тех пор, пока кластер не достигнет границ поля (экономической ниши товара) или не пройдет некоторое заданное время моделирования (время снижения потребительского интереса к товарам). Цель моделирования: а) построение клеточно-автоматной, фрактальной картины рынка через некоторое время; б) построение новых законов занятия ниши продавцами товаров и моделирование.