Метод аналитического выравнивания по среднему коэффициенту роста
Аналитическая функция опирается на показатель - средний коэффициент роста и имеет математическое выражение показательной функции
Уt = У0 * , где - средний коэффициент роста, рассчитанный как , t – порядковый номер временного отрезка ( t= 0,1,2,…п)
(слайд 3.8.20)
Из расчетных данных, что начальный и конечный фактические и теоретические уровни ряда совпадают. Следовательно, эта аналитическая функция будет объективно описывать тенденцию при условии примерного равенства цепных коэффициентов роста.
Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются теоретическими, рассчитанными по методу наименьших квадратов на основе системы нормальных уравнений.
Этот метод наиболее эффективен для выявления тенденции по следующим причинам:
- аналитическая функция может быть любой формы, сообразно характеру изменения фактических уровней ряда;
- параметры уравнения реализуют условия минимизации отклонений фактических значений от теоретических, то есть получения минимальной суммы квадратов отклонений Σ( уi- Уt)2 по сравнению с любыми другими теоретическими значениями, рассчитанными по другим методам.
В то же время возникает проблема верного выбора вида (формы) уравнения. Ее решение по существу определяет эффект применяемого метода. Наиболее эффективный способ определения формы функции основан на изучении графика динамики фактических данных.
Если уровни располагаются примерно по прямой линии, имеют примерно равные цепные абсолютные приросты, выравнивание проводится по уравнению прямой (линейному тренду) :
Уt = а 0+ а 1 t или : (слайд 3.8.21)
Уt = а 0 - а 1 t
Если уровни ряда отражают ускоренное или замедленное изменение, то целесообразно брать функцию в виде параболы 2-го порядка:
Уt = а 0+ а 1 t +а 2 t 2 .
Если примерно равны цепные коэффициенты роста ( т.е. уровни меняются в геометрической прогрессии), целесообразна форма показательной функции
Уt = а 0 * .
Если изменение признака замедленное, но не достигает нуля, выбирают гиперболу Уt = а 0 +.
Для характера изменения уровней по синусоиде подойдут полиномы п -степени:
Уt = а 0- а 1 t +а 2 t 2 - а 3 t 3+….а п t п
Для случаев, когда неясно, какую функцию взять за основу, рассматривают разные варианты функций и предпочтение отдают той, при которой Σ( уi- Уt )2 минимальная.
Рассмотрим пример применения метода по динамическому ряду надоев коров.( таб.8.10)
8.10.Анализ тенденции надоев коров в с.-х. организациях РФ методом наименьших квадратов по линейному тренду (слайд 3.8.22)
Год
Надой молока
на 1 корову кг
уi
Порядковый номер года
ti
уi *ti
ti2
Теоретические значения уровней, рассчитанные по уравнению
Уt = 2187.8+ 187.4 t
Разность фактического и теоретического уровней
(уi- Уt)
Квадрат
разности
( уi- Уt)2
-32
1036,84
-10
92,16
3364,00
1730,56
-58
3340,84
Итого
х
9564,40
Неизвестные параметры уравнения а 0 и а 1 находим путем решения системы нормальных уравнений. Для составления системы нормальных уравнений необходимо все члены исходного уравнения Уt = а 0+ а 1 t. умножить на коэффициент при неизвестном параметре и просуммировать по всем периодам времени.
Первое неизвестное в уравнении а 0. Коэффициент при а 0. равен 1, поэтому после перемножения на этот коэффициент вид уравнения не изменится. После суммирования по всем датам получаем: ΣУt = па 0+ а 1 Σ t
Второе неизвестное в уравнении а 1. Коэффициент при а 1. равен t, поэтому после перемножения на этот коэффициент вид уравнения будет следующим:
Уt t = а 0*t+ а 1 t2 . После суммирования по всем датам получаем:
ΣУt t = а 0*Σ t+ а 1 Σ t2 .
В полученную систему из двух уравнений
ΣУt = па 0+ а 1 Σ t
ΣУt t = а 0*Σ t+ а 1 Σ t2 .
подставляем необходимые величины из таблицы 4.12. и получаем
13750=5 а 0 + 15 а 1
43124=15 а 0 + 55 а 1
Далее следует решить систему. Один из способов: приведение к одному коэффициенту при первом неизвестном (а 0), разделив все члены 1-ого уравнения на 5, все члены 2ого уравнения на 15.
2750= а 0 + 3 а 1 Вычитаем из второго уравнения первое
2874,9333= а 0 + 3,6667 а 1 1,2493 = 0,6667 а 1
а 1 = 187,3906 = 187,39
После нахождения а 1 определяем а 0
2750= а 0 + 3 а 1 а 0 = 2750 – 3*187,39=2187,83
Решенное уравнение имеет вид Уt = 2187,83+ 187,39 t
Уравнение позволяет сделать вывод о том, что за период с 2000 по 2004 год надой на 1 корову ежегодно возрастал на 187кг.
Подставим в решенное уравнение значения t и получим теоретические уровни динамического ряда, то есть проведем интерполяцию динамического ряда . Теоретические значения показывают, каким был бы надой молока на корову при условии, что на уровни ряда действовали исключительно постоянные факторы тенденции. (слайд 3.8.23)
, где 
- средний коэффициент роста, рассчитанный как 
, t – порядковый номер временного отрезка ( t= 0,1,2,…п)
.
.
( уi - Уt )2
2750= а 0 + 3 а 1 Вычитаем из второго уравнения первое
2750= а 0 + 3 а 1 а 0 = 2750 – 3*187,39=2187,83