Переходные процессы в системах

В) Переходные процессы при изменении магнитного потока двигателя независимого возбуждения.

Б) Переходные процессы в системе ИТ-Д, замкнутой по скорости

А) Переходный процесс в электроприводе с двигателем постоянного тока независимого возбуждения при Lя¹0.

Переходные процессы при L¹0

Ограничим рассмотрение задач этой группы случаями, когда механические характеристики привода линейны.

Как и прежде, переходный процесс должен удовлетворять уравнению (5.1)

однако изменение М, а значит и теперь будет определяться не только внешним воздействием, но и электрической инерционностью - индуктивностью L. В системе действуют два накопителя энергии J и L и при определенных условиях возможен обмен энергией между этими накопителями, т.е. колебательный процесс.

Рассмотрим схему на рис. 5.19. Отличительной особенностью схемы по сравнению с рассмотренными ранее является индуктивность L_я. Для якорной цепи справедливо уравнение:

, (5.23)

решив которое относительно w:

(*)

и обозначив получим

. (**)

Рис. 5.19. Схема пуска электропривода постоянного тока с двигателем

независимого возбуждения

Если сравнить (**) с (3.4), то окажется, что уравнения идентичны, однако в (**) U¢ зависит от т.е. уравнение (**) представляет семейство прямых (рис. 5.20,а), параллельных естественной характеристике и располагающихся как ниже (> 0), так и выше (< 0) нее. При = 0, очевидно, уравнение (**) соответствует естественной характеристике.

После замыкания ключа К ток i начинает расти, значит растет М и привод разгоняется (для упрощения рассуждений примем М_с = 0), переходя при этом с характеристики на на характеристику (> 0, но уменьшается по мере разгона). В процессе увеличения тока и скорости (участок Оа на рис. 5.20) возрастает запас энергии как в индуктивности, так и во вращающемся якоре. В точке а рост тока прекращается; при этом в соответствии с (*) привод оказывается на естественной характеристике, но М > М_с = 0. С точки а начинается спадание тока, т.е. энергия, запасенная в L_я, передается вращающемуся якорю. Механизм передачи очевиден из (*): напряжение, приложенное к якорю U¢, становится больше, чем напряжение сети U. На участке аb привод разгоняется, соответственно растет е = сw, причем в точке b i = 0 - запас энергии в L_я исчерпан, однако w >w₀ и e > U, т.е. в якоре запасена избыточная механическая энергия.

а) б)

Рис. 5.20. Механические характеристики (а) и переходной процесс пуска при L_я ¹ 0 (б)

На участке bc под действием e > U ток изменяет направление, привод тормозится, при этом избыточная механическая энергия вновь переходит в электромагнитную энергию, накапливаемую в индуктивности. В точке с = 0, однако в L_я запасена энергия, чему соответствует i ¹ 0 и M ¹ 0. Привод продолжает тормозиться до точки d, затем процесс повторяется.

Кривая 0abcd... w₀ в плоскости w - M представляет собою динамическую механическую характеристику. Соответствующие зависимости w(t), i(t) или M(t) показаны на рис. 5.20,б.

Так как в якорной цепи есть сопротивление R_я процесс перекачивания энергии сопровождается ее рассеиванием, вследствие чего система после ряда колебаний приходит в точку w₀, соответствующую установившемуся режиму. Если бы сопротивление R_я было равным нулю, колебания w и М имели бы незатухающий характер. Если, наоборот, R_я велико, энергии, запасенной в L_я на участке 0а, может оказаться недостаточно для покрытия потерь в R_я и вывода якоря в точку w > w₀ при i = 0. В этом случае процесс будет иметь апериодический характер.

Количественное описание рассмотренных выше процессов можно получить, решив совместно (5.1) и (5.23). Из (5.1) при М_с = 0 следует:

.

Подставив это выражение и его производную

в (5.23), получим после элементарных преобразований:

(5.24)

где

Решение (5.24) найдем в виде

w = w_св + w_пр = + w₀, (5.25)

где А₁, А₂ - постоянные, определяемые по начальным условиям

w½_t=0 и

p₁, p₂ - корни характеристического уравнения

1 + Т_мр + Т_мТ_яр² = 0 (^D)

Решив (^D), получим

откуда вытекает условие колебательности процесса. Если

т.е. Т_м < 4Т_я,

корни комплексные и процесс носит колебательный характер; если

т.е. Т_м ³ 4Т_я,

корни действительные и процесс апериодический.

Уравнение для тока или момента легко получить, воспользовавшись, как и прежде, (5.15). Продифференцировав (5.25) и умножив результат на J получим:

М = J (). (5.26)

Рассмотрим переходные процессы в системе ИТ-Д (п. 3.7) на участке, где действует отрицательная обратная связь по скорости. Если при анализе установившихся режимов мы не учитывали индуктивность цепи возбуждения, то теперь это сделать необходимо, так как момент в этой системе определяется i_в, а изменение этого тока связано с L_в.

Уравнения динамики для схемы на рис. 5.21 имеют вид (примем, как и в предыдущем случае, что М_с = 0):

(5.27)

(5.28)

где U_в - напряжение на обмотке возбуждения;

R_в, L_в - активное сопротивление и индуктивность цепи возбуждения;

i_в - текущее значение тока возбуждения.

Рис. 5.21. Схема системы источник тока – двигатель, замкнутой

по скорости

Эти уравнения отражают динамические свойства системы, так как содержат члены члены с J и L_в. Кроме того, следует записать уравнения, отражающие связи между переменными.

Из общего уравнения для момента (3.1), приняв, что Ф = ai_в, имеем:

М = kФI = kIai_в

или с учетом (5.27)

Из уравнения замыкания системы при линейном безынерционном возбудителе получаем:

или с учетом (5.28)

После простых преобразований получаем окончательно:

(5.29)

где - электромеханическая постоянная времени;

- постоянная времени цепи возбуждения;

- скорость идеального холостого хода.

Сравнив (5.29) с (5.24), обнаруживаем полное сходство уравнений, хотя входящие в них параметры совершенно различны. В этом факте проявляется глубокая физическая общность систем на рис. 5.19 и 5.21: каждая из них имеет по два накопителя энергии и существуют условия для обмена энергией между ними.

Очевидно, что уравнению (5.29) соответствуют процессы, рассмотренные в п.а).

Рис. 5.22. Схема электропривода постоянного тока с двигателем

независимого возбуждения при ослаблении поля

Рассмотрим еще один практически важный случай - изменение Ф в двигателе постоянного тока независимого возбуждения (рис. 5.22). В исходном состоянии ключ К замкнут и привод работает на естественной характеристике (рис. 5.22) в точке w_нач = w_{с нач}. Переходный процесс вызывается размыканием в момент t = 0 ключа К, в результате чего уменьшается ток i_в и магнитный поток Ф и привод переходит на верхнюю характеристику. Если бы обмотка возбуждения не обладала индуктивностью, то ток i_в изменился бы мгновенно, т.е. мгновенно исходная (естественная) характеристика заменилась бы конечной, и переходный процесс протекал по ней, как было описано в п.5.2 (пунктирные стрелки на рис. 5.23). В действительности же L ¹ 0, и переход от естественной характеристики к конечной происходит во времени, причем темп этого перехода в общем случае соизмерим с темпом изменения скорости. В результате динамическая механическая характеристика имеет вид, показанный на рис. 5.23 сплошной линией со стрелкой.

Рис. 5.23. Механические характеристики при ослаблении поля

Получим уравнение, описывающее изменение скорости. Для этого за основу, как и раньше, возьмем уравнение движения (5.1)

(5.1)

Зависимость момента от скорости можно в соответствии с рис. 5.23 записать как

. (*)

Подставив (*) в (5.1), после простых преобразований получим

или, если учесть, что

и

(5.30)

В этом уравнении, похожем внешне на (5.6), есть существенное отличие: Т_м и w_с зависят от потока и растут с его уменьшением.

В свою очередь, магнитный поток экспоненциально изменяется во времени, если принять зависимость Ф(i_в) линейной.

Численное решение (5.30), подстановка в (5.1) и вычисление тока якоря по соотношению

приводят к результату, представленному на рис. 5.24 и имеющему, как и при всяком численном решении, частный характер.

Рис. 5.24. Переходный процесс при ослаблении поля

В данном случае переходной процесс определяется двумя инерционностями - J и L_в и описывался двумя дифференциальными уравнениями первого порядка, одно из которых было нелинейным. Эти уравнения не имели комплексных корней, в чем отразилась физическая невозможность обмена энергией между двумя накопителями.

Рассмотренные ранее случаи переходных процессов относятся к простейшим электроприводам, когда учитываются лишь основные накопители энергии и можно уделять внимание физической стороне дела, относительно просто приходя к результату. Вместе с тем, все современные электроприводы представляют собой весьма сложные многоэлементные замкнутые системы, и для их анализа и синтеза приходится прибегать к приемам, разработанным в теории автоматического управления. Один из самых распространеных на практике приемов - использование структурных схем с передаточными функциями входящих в систему элементов.

Передаточная функция - отношение изображений по Лапласу выходной величины к входной при нулевых начальных условиях. Так, для цепи R - L, подключенной к источнику напряжения u(t) имеем:

или, заменив на р, u(t) на u(p) и i(t) на i(p) и решив уравнение относительно i(p), принятом за выходную величину, получим

где - постоянная времени.

Для двигателя постоянного тока независимого возбуждения с учетом индуктивности якорной цепи L_я при питании якоря от источника напряжения u(t) и kФ = с, приняв за выходную величину w(t) и за входную u(t) после перехода к изображениям, получим для случая М_с = 0 структурную схему на рис. 5.25,а.

а)

б) в)

Рис.5.25. Передаточные функции двигателя постоянного тока

независимого возбуждения

Проделав элементарные преобразования, будем иметь передаточную функцию двигателя в виде колебательного звена (рис. 5.25,б):

,

где - электромеханическая постоянная времени,

- постоянная времени цепи якоря.

Если корни характеристического уравнения действительные, будем иметь два апериодических звена (рис. 5.25, в):

.

Используя подобные действия, можно получить структурную схему любой системы и применить к ней приемы преобразования. анализа и синтеза, разработанные в теории автоматического регулирования.

Рассмотрим здесь кратко лишь один из таких приемов рационального управления динамической системой - построение систем подчиненного регулирования с последовательной коррекцией.

Для выходной координаты некоторого объекта регулирования образуют замкнутый контур, в который входит как сам объект, так и специальный регулятор, обеспечивающий заданное качество регулирования.

Пусть передаточная функция объекта регулирования имеет вид, к которому часто удается привести после преобразований передаточную функцию реального устройства:

, (5.31)

где К - общий коэффициент передачи,

Т - наибольшая постоянная времени,

Т_j - малые постоянные времени.

Поставим задачу максимально сократить время переходного процесса, исключив колебательность.

Рассмотрим сначала первый сомножитель в (5.31).

Теоретически возможно увеличить коэффициент передачи, включив на вход регулятор с передаточной функцией W_p(р)= K₁, однако это повысит чувствительность к помехам и склонность к колебательности. Теоретически возможен регулятор с передаточной функцией W_p(р)= Tр+1, однако такой регулятор нереализуем физически. На практике обычно используют пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор) с передаточной функцией

(5.32)

Тогда в разомкнутой структуре с таким регулятором будем иметь без второго сомножителя в (5.31):

. (5.33)

Для выбора Т₀ пользуются вторым сомножителем в (5.31). Если принять

(5.34)

то, как показано в теории, можно считать, что

(5.35)

Тогда, очевидно, передаточная функция разомкнутой системы будет

(5.36)

а передаточная функция замкнутой системы определится как

, (5.37)

где - параметр, характеризующий вид переходного процесса; на рис. 5.26 приведены переходные функции для различных а. Очевидно, что компромисс между колебательностью и длительностью переходного процесса достигается при а = 2, и такая настройка (выбор Т₀) называется настройкой на технический оптимум. При этом без большой погрешности можно принять, что

(5.38)

Рис. 5.26. Характер переходных процессов в контуре при

различных а = Т₀/Т_m

Итак, оптимизация объекта с передаточной функцией W₀(р) имеет компромиссный характер, осуществляется включением ПИ-регулятора W_р(р) с замыканием системы по выходной координате и состоит в замене разомкнутой структуры с большой постоянной времени Т замкнутой структурой с аналогичной передаточной функцией, но с другой постоянной времени, выбираемой из условия желаемого качества переходных процессов.

Изложенная процедура оптимизации особенно удобна и эффективна, если в систему входит несколько контуров - рис. 5.27. Начав с внутреннего (контур 1) и оптимизировав его, как было описано выше, переходят к следующему контуру (контур 2) и действуют аналогичным образом.

Рис. 5.27. Многоконтурная система

Если принять для упрощения, что малые постоянные Т_j, образовавшие некомпенсируемую постоянную Т_m, сосредоточены во внутреннем контуре, а во внешнем отсутствуют, можно получить следующие передаточные функции i-ого контура:

(5.39)

и

. (5.40)

К достоинствам изложенной оптимизации относится идентичность переходных процессов в каждом контуре при их независимой настройке, простота ограничения координат за счет ограничения задания нелинейной характеристикой вход-выход соответствующего регулятора, удобство в практической наладке систем. К недостаткам можно отнести сравнительно низкое быстродействие внешних контуров - см. (5.40).

Приведенный пример оптимизации сложной системы, разумеется, далеко не исчерпывает всех возможностей. Так, в настоящее время с появлением эффективной компьютерной поддержки все чаще используется прием, состоящий в составлении поэлементного математического описания системы, представлении дифференциальных уравнений в форме Коши и использовании мощных пакетов типа Simnon, Simulink и др. для работы с полученным математическим описанием. Самым сложным, требующим немалых усилий здесь является этап получения адекватного математического описания. Остальное берет на себя мощный, хорошо организованный программный продукт.

Во всех подходах, естественно, теряется физическая сторона процессов, однако появляется возможность работать с весьма сложными системами.

* Буквой U здесь обозначена ЭДС источника