Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі (без доведення). Приклади обчислення рангу матриці. Поняття системи лінійних однорідних рівнянь.

Ранг матриці– це порядок її найбільшого ненульового мінору.

Позначення: r(A), R(A), Rang A.

Зауваження. Очевидно, що значення рангу матриці не може перевищувати меншого її виміру.

Основними методами обчислення рангу матриці є методи оточення мінорів (теоретичний) і метод елементарних перетворень (практичний).

Метод оточення мінорів полягає в тому, що в ненульовій матриці шукається довільний базисний мінор.

Метод елементарних перетворень полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень знаходиться деяка максимальна лінійно незалежна система рядків матриці. Можливо із зведенням матриці до трикутного вигляду (метод Гауса).

Теорема Кронекера-Капеллі: Система лінійних рівнянь має розв'язок тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих, не змінюється при додаванні до неї стовпця вільних членів (розширена матриця). Цей розв'язок єдиний, якщо цей ранг матриці дорівнює кількості невідомих.

Система m лінійних рівнянь з n невідомими називається однорідною якщо всі вільні члени рівні нулю.

завжди задовольняє однорідну систему рівнянь.